使用最大似然法来求解线性模型（4）-最大化似然函数背后的数学原理

在 使用最大似然法来求解线性模型（3）-求解似然函数 文章中，我们让 logL 对 w 求一阶偏导数，让偏导数等于0，解出 w，这个 w 就是使logL取最大值的w

那为什么令一阶偏导数等于0，求得的w就能够使 logL 取最大值呢？

在高等数学中，对于一元可导函数f(x)而言，一阶导数f^′(x)=0的点称为拐点。而拐点不一定是极值点，一种判断拐点是否是极值点的方式是：判断拐点处的二阶导数是否大于0

若拐点处的二阶导数大于0，则f(x)在拐点处取极小值；若拐点处的二阶导数小于0，则f(x)在拐点处取极大值；若拐点处的二阶导数等于0，则拐点处不是极值。

上面的结论，可以用f(x)=x² 和 f(x)=x³ 来验证。当然，结论的前提是f(x)是二阶可导的，如果二阶导数都不存在，上面的方法自然就不能用来判断极值点了。

而在机器学习中，我们考虑的样本的特征有很多，不止一个，因此我们所处理的函数一般是多元的(多个自变量)。

比如 logL 是关于 w 的函数，而 w=[w₁，w₂] 是一个向量，logL 关于w求偏导数时，其实质就是对 w 个的每一个分量w_i 求偏导数。

上面的就是：logL 关于w的偏导数，又称为梯度。从公式中可看出：logL是一个实数，它是一个标量--我们的目标也是寻找最大的logL，而梯度是一个向量。

是不是想到了梯度方法？没错，梯度下降方法就是用到了梯度的一个性质：

1. 梯度性质：梯度方向就是函数f 在w处 增加最快的方向，因此要搜索函数f 的最大值，往梯度方向搜索应该是一个很好的搜索方向。

这里不讨论梯度的一些理论，而是在梯度的基础上，再对w^T求导，就得到了一个矩阵，如下所示：

这个矩阵就是黑塞矩阵，而 logL 在 w 点 是否取极值就由这个黑塞矩阵的性质来决定。

• 极小值定理：多元实值函数f(w)在定义域上二阶连续可微，w^*是定义域上的一个内点，如果w^*满足如下两个条件：

1.  
2.  

• 则w^*是函数f(w)的一个严格局部极小点。其中F(w)是黑塞矩阵。关于这个定理的证明可参考：《最优化导论 第四版》Edwin K.P.Chong著 孙志强译

由前面的公式：，再对w^T求导，得出： 

因此，对于函数logL而言，它的黑塞矩阵是：F(w)=(-1/σ²)X^T*X

要想使得在w处logL取极大值，则黑塞矩阵：F(w)=(-1/σ²)X^T*X < 0 。也即：X^T*X > 0，也就是判断矩阵X^T*X是正定矩阵。

而在使用最大似然法来求解线性模型（3）-求解似然函数：中，矩阵X如下：

得到X^T*X是一个对称矩阵。判断对称矩阵是正定矩阵的定理有：

1. 对称阵A为正定的充分必要条件是：A的特征值全为正
2. 对称阵A为正定的充分必要条件是：A的各阶顺序主子式都为正
3. 对于任意的一个非零向量z=[z₁，z₂]^T，有 z^T*A*z > 0。也即对称矩阵A的 二次型 大于0

当一个矩阵是对称矩阵时，根据上面的定理判断它的正定性，是很方便的。这也是为什么将一般矩阵转换成对称矩阵来处理的原因。

这里采用第二种方式，来证明 X^T*X 正定矩阵，由于它是2*2矩阵，故一共只有两个顺序主子序。

X^T*X 的一阶顺序主子式为N，N>0 显然成立。

X^T*X 的二阶顺序主子式为：

这里从概率论中随机变量的方差角度出发来证明

将上式除以N的平方，得到：

再根据方差DX的定义，DX=E(X-EX)²是大于0的。故下面等式成立。

从而证明了二阶主子式也大于0。故对称矩阵X^T*X是正定矩阵。

因此，对于一阶偏导数等于0的点w^*而言，它的黑塞矩阵总是正定的。因而满足“极值定理”成立的条件。故w^*是一个极大值点。

参考文献：

• 《a first course of machine learning》
• 《最优化导论》第四版 Edwin K.P.Chong著

原文：http://www.cnblogs.com/hapjin/p/6633471.html