二分

引入

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大家小时候应该玩过这样一个游戏：小伙伴心中想一个1-1000的数，然后另一个小伙伴猜这个数是多少，每次小伙伴回应这个猜的数是比实际的数大还是小，最后肯定能在十次以内找到这个数。在这里就是用到了二分的思想：折半查找，每次找那个数时都取区间的一半，比实际的数要大，就取左边的区间，否则取右边的区间，用代码实现就是：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int l = 1, r = 1000;  //l表示左端点，r表示右端点，即这个区间可以表示为(0, 1000]
    int res = 45;  //实际的数
    int guess;   //猜测的数
    while(r > l){  //左端点大于等于右端点就停止猜测
        guess = (r+l)/2;   //取中间区间的数，向下取整
        if(guess < res) l = guess+1;  //如果guess比实际的数要小，左端点变为guess的开区间，即变成了(guess, r] 
        else r = guess;
    }
    cout << l << endl;  //输出结果(输出l或r都是一样的)
    return 0;
}

这段代码有两个值得注意和思考的地方，第一：为什么要用左开右闭去表示这个区间，第二：如果判断条件guess < res改为guess <= res会怎么样？第三：关于计算猜的数，要选向上取整还是向下取整？

第二个问题比较简单，因为我们把区间设为了(l, r]这种左闭右开的区间，也就是说，当guess == res时，l = guess+1这步操作跳过了实际的我们要的数res，然后就不能找到答案了。可是第一个问题：为什么要用左开右闭呢？我们可以想象一下这种情况：把l = guess+1改成l = guess后(就是把左开右闭改成左闭右闭的区间)，res为1000时，也就是这样：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int l = 1, r = 1000;  
    int res = 1000;  
    int guess;   
    while(r > l){  
        guess = (r+l)/2;   
        if(guess < res) l = guess;  
        else r = guess;
    }
    cout << l << endl;  
    return 0;
}

运行了一下这个代码，可以发现程序进入了死循环跳不出来，我们查找一下原因:
假设中间的循环到了这一步：l == 999, r == 1000，然后执行第一步，发现guess == 999，然后符合guess < res(res为1000)，执行第二步l = guess;，这时终于发现原因了：l == 999，说明又跳回到第一步，区间根本没有被更新。有人可能会说：这是循环第一行代码，就是guess = (r+l)/2;惹的祸，因为这导致了guess向下取整，不能取到1000，把这个代码改成guess = (r+l+1)/2向上取整，然后再把guess < res改成guess <= res这个代码就能运行了。修改代码之后，运行了一下，对于res == 1000是可以的，但是当res == 1时又不行了，这样改行不通。还有一种方案，有的人可能这样改：

#include <iostream>
using namespace std;

int main()
{
    int l = 1, r = 1000;
    int res;
    cin >> res;
    int guess;
    while(r > l){
        guess = (r+l)/2;
        if(guess == l) break;
        if(guess < res) l = guess;
        else r = guess;
    }
    cout << l+1 << endl;
    return 0;
}

这种改法在res == 1时答案错误，并不能根本解决上述的问题。所以最好的方法是把区间改成左开右闭的区间。改成左开右闭的区间后，取整方向是否任意的？不是，这里改成左开右闭时，取整一定要向下取整，也就是guess = (r+l)/2，如果是向上取整，即guess = (r+l+1)/2的话就会造成死循环。原因：当res == 1时，中间的while循环有这样的状态：l == 1, r == 2时，guess == (1+2+1)/2 == 2，因为guess < res，所以r = guess，即r == 2，又变回到之前的状态，所以在左开右闭的区间要改成向下取整。相反，如果是左闭右开的区间就要改成向上取整，代码如下：

    while(r > l){
        guess = (r+l+1)/2;
        if(guess > res) r = guess-1;
        else l = guess; 
        //这个代码还可以改成  
        /*
        if(guess <= res) l = guess;
        else r = guess-1;
        */
    }