并查集

定义: 在一些应用问题中，我们需要划分n个不同的元素成若干组，每一组的元素构成一个集合。这种问题的一个解决办法是，在开始时，让每个元素自成一个单元素集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并。其间要反复用到查找一个元素在哪一个集合的运算。适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集。

 

并查集支持以下三种操作:

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

  初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

   查找一个元素所在的集合，其精髓是找到这个元素所在集合的祖先！这个才是并查集判断和合并的最终依据。

   判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

   合并两个不相交集合操作很简单：
   利用Find_Set找到其中两个集合的祖先，将一个集合的祖先指向另一个集合的祖先。

实现方法

1.用编号最小的元素标记所在集合；

2.定义一个数组 set[1..n] ，其中set[i] 表示元素i 所在的集合；

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	2	1	4	2	6	1	6	2	2

Set[i] 不相交集合：{1,3,7}, {4}, {2,5,9,10}, {6,8}

并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩

寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，

每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度。

路径压缩，即当我们经过"递推"找到祖先节点后，"回溯"的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，

这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了。

朴素查找的代码,适合数据量不大的情况：

int findx(int x)
{    
    int r=x;   
    while(parent[r] !=r)
        r=parent[r];
    return  r;
}

下面是采用路径压缩的方法查找元素：

int find(int a)
{
    if(a!=f[a])
        f[a]=find(f[a]);       //回溯时压缩路径
    return f[a];
}

上面是一采用递归的方式压缩路径， 但是，递归压缩路径可能会造成溢出栈，

下面我们说一下非递归方式进行的路径压缩：

int find(int x)
{    
    int k, j, r;    
    r = x;    
    while(r != parent[r])     //查找跟节点        
           r = parent[r];      //找到跟节点，用r记录下   
    k = x;           
    while(k != r)             //非递归路径压缩操作  
        {      
            j = parent[k];         //用j暂存parent[k]的父节点      
        parent[k] = r;        //parent[x]指向跟节点       
        k = j;                    //k移到父节点   
        }    
    return  r;         //返回根节点的值        
}

2、Union(x,y)时 按秩合并
即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

为了实现一个按秩合并的不相交集合森林，要记录下秩的变化。

对于每个结点x，有一个整数rank[x]，它是x的高度（从x到其某一个后代叶结点的最长路径上边的数目）的一个上界。（即树高）。当由MAKE-SET创建了一个单元集时，对应的树中结点的初始秩为0，每个FIND-SET操作不改变任何秩。当对两棵树应用UNION时，有两种情况，具体取决于根是否有相等的秩。当两个秩不相等时，我们使具有高秩的根成为具有较低秩的根的父结点，但秩本身保持不变。当两个秩相同时，任选一个根作为父结点，并增加其秩的值路径压缩。

void Union(int a,int b)
{
    int fa,fb;
    fa=find(a);
    fb=find(b);
    if(rank[fa]>rank[fb])
        f[fb]=fa;
    else
        f[fa]=fb;
    if(rank[fa]==rank[fb])
        rank[fb]++;
}

若不考虑rank数组

void Union(int a,int b)
{
    int fa,fb;
    fa=find(a);
    fb=find(b);
    if(fa!=fb)
        f[fa]=fb;
}