欧拉函数

欧拉函数是求小于x并且和x互质的数的个数

通式：φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)
其中p1, p2……pn为x的所有质因数，x是不为0的整数
φ(1)=1（唯一和1互质的数就是1本身）【注意：每种质因数只一个。比如12=2*2*3】

 

定理：
           （1）若n是素数p的k次幂，φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1)，因为除了p的倍数外，其他数都跟n互质 
           （2）欧拉函数是积性函数——若m,n互质，φ(mn)=φ(m)φ(n)

特殊性质：
1）当n为奇数时，φ(2n)=φ(n)
2）p是素数，φ(p) = p - 1，φ(p)称为p的欧拉值

直接求欧拉数

int ol(int n)
{
    int s=n,i,m;
    m=sqrt(n);
    for(i=2;i<=m;i++){
        if(n%i==0)
            s=s/i*(i-1);
        while(n%i==0)
            n/=i;
    }
    if(n>1)
        s=s/n*(n-1);
    return s;
}

用筛选法打表

int a[1000010]={1,1,0};
long long s[1000010];
void prime_ol()
{
    int i,j;
    for(i=2;i<=1000000;i++){
        if(a[i]==0){
            for(j=i;j<=1000000;j+=i){
                if(a[j]==0)
                    a[j]=j;
                a[j]=a[j]/i*(i-1);
            }
        }
    }
}

补充知识：

原根定义：假设一个数g对于P来说是原根，那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 1<i<P,那么g可以称为是P的一个原根

简单来说，g^i mod p ≠ g^j mod p （p为素数），其中i≠j且i, j介於1至(p-1)之间，则g为p的原根。

定理：如果为素数，那么素数一定存在原根，它恰有φ(φ(p))个不同的原根，因为 p为素数，

当然φ(p)=p-1,因此就有φ(p-1)个原根。