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  • 欧拉函数

    欧拉函数是求小于x并且和x互质的数的个数

    通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn)
    其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数
    φ(1)=1(唯一和1互质的数就是1本身)【注意:每种质因数只一个。比如12=2*2*3

     

    定理:
               (1)若n是素数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质 
               (2)欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)

    特殊性质:
    1)当n为奇数时,φ(2n)=φ(n)
    2)p是素数,φ(p) = p - 1,φ(p)称为p的欧拉值

    直接求欧拉数

    int ol(int n)
    {
        int s=n,i,m;
        m=sqrt(n);
        for(i=2;i<=m;i++){
            if(n%i==0)
                s=s/i*(i-1);
            while(n%i==0)
                n/=i;
        }
        if(n>1)
            s=s/n*(n-1);
        return s;
    }
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    用筛选法打表

    int a[1000010]={1,1,0};
    long long s[1000010];
    void prime_ol()
    {
        int i,j;
        for(i=2;i<=1000000;i++){
            if(a[i]==0){
                for(j=i;j<=1000000;j+=i){
                    if(a[j]==0)
                        a[j]=j;
                    a[j]=a[j]/i*(i-1);
                }
            }
        }
    }
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    补充知识:

    原根定义:假设一个数g对于P来说是原根,那么g^i mod P的结果两两不同,且有 1<g<P, 1<i<P,那么g可以称为是P的一个原根

    简单来说,g^i mod p ≠ g^j mod p (p为素数),其中i≠j且i, j介於1至(p-1)之间,则g为p的原根。
    定理:如果为素数,那么素数一定存在原根,它恰有φ(φ(p))个不同的原根,因为 p为素数,
    当然φ(p)=p-1,因此就有φ(p-1)个原根。



     

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