noip复习——逆元

逆元，即对给定(a,p (a perp p))，求(x)使得(ax equiv 1 (mod p))

逆元可以看做(a)在模(p)意义下的(a^{-1})。因此，在模(p)意义下，可以用乘(a)的逆元的方式来代替除以(a)操作

求单个数的逆元

费马小定理求逆元

当(p)是质数且(aperp p)时 $$a^{p-1}equiv1quad (mod p) $$

方程两边同时乘(a^{-1}),可以发现$$a^{-1}equiv a ^{p-2}quad(mod p)$$

可以直接快速幂求 传送门

欧拉定理求逆元

欧拉定理可以适用于满足(aperp p)的情况 $$a^{varphi(p)}equiv 1quad (mod p) $$

同理可得$$a^{-1}equiv a^{varphi(p)-1} quad (mod p) $$

现在的问题变成了，如何求欧拉函数？

1.线性筛(O(p))求

适用于多个模数的情况 传送门

如果是单一模数怎么办呢？有更高效的做法

2.(O(sqrt{p}))做法

[varphi(p)=pprodlimits_{i}(1-frac1i) ]

其中，(i)是(p)的所有质因子

#define LL long long
LL get_phi(LL n)
{
    LL sum = n;
    for (LL i = 1; i * i <= n; ++i)
        if (n % i == 0)
        {
            sum -= sum / i;
            while (n % i == 0)
                n /= i;
        }
    if (n > 1)
        sum -= sum / n;
    return sum;
}

exgcd求逆元

exgcd可以求解方程组(ax+by=c)的解，而求(a)在模(p)下的逆元可以转化为求(ax+py=1)的解

求多个数的逆元

线性求1~n的逆元

题目传送门

令(p=ki+r,k=lfloorfrac pi floor. r=p mod i)

则有(ki+r equiv 0quad (mod p)),乘(i^{-1},r^{-1})可得(kr^{-1}+i^{-1}equiv 0quad (mod p))

所以(i^{-1}=-r^{-1}lfloorfrac pi floor)

显然可以递推求解

线性求n个数的逆元

题目传送门

先预处理出这n个数的前缀积(sum_i)，然后求出这n个数积的逆元(suminv_n)，那么(suminv_{i-1}=suminv_i*a_i)，(inv_i=suminv_{i}*sum_{i-1})。