题解 SGU294 He's Circles

题目描述

失踪人口回归

根据(Polya)定理$$ans=frac 1n sumlimits_{i=1}ⁿ²{gcd(i, n)}$$

考虑枚举(gcd)，原式变成$$frac 1n sumlimits_{d|n}2^{dsumlimits_{i=1}}nig[gcd(i,n)=dig]$$

用(id)替换(i) $$frac 1n sumlimits_{d|n}2^{dsumlimits_{i=1}}{frac nd}ig[gcd(i,frac nd)=1ig]$$

(sumlimits_{i=1}^{frac nd}ig[gcd(i,frac nd)=1ig])这个东西显然是(varphi(frac nd))，所以答案即为$$frac 1n sumlimits_{d|n}2^dvarphi(frac nd)$$

这题比较恶心的地方就是高精

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