桶中黑白球问题

桶中黑白球问题 去年百度的笔试题目，网友说貌似是《编程之美》上面的题目。题目描述如下：

有一个桶，里面有白球、黑球各100个，取球的规则如下：

1. 每次从桶里面拿两个球；
2. 如果是两个同色的球，就再放入一个黑球；
3. 如果是两个异色的球，就再放入一个白球。

问题是：最后桶里面只剩下一个黑球的概率是多少?

刚开始拿到题目，首先的思路就是写程序，计算每种情况的可能……可是这个程序怎么写都迷迷糊糊的，也算不出来正确结果。后来看了书和网上的资料，才发觉思维四位僵化居然这么可怕。

这道题目有两种比较好的解法，而且题目中球的数目不同的时候也会产生不同的结果。

解法一： 同色球，放入一个黑球，异色球，放入一个白球。由这两句话我们可得球的数量的变化，假设原先黑、白球各100个的状态是(0,0)，则我们可以用(-2,0)、(0,-2)表示取出同色的球，则取出一黑一白就可以表示成(-1,-1)，则我们可得球的数量的变化情况如下等式：

1. 取出两个白球：(0,-2)+(1,0)=(1,-2)；
2. 取出两个黑球：(-2,0)+(1,0)=(-1,0)；
3. 取出一黑一白：(-1,-1)+(0,1)=(-1,0)。

由上式我们知道，每次取球，球的数量都是会减少一个的，所以最后必定会出现只剩下一个球的情况。然后我们观察发现白球数量的变化情况是要么少两个，要么就不变，所以最后肯定不会只剩下一个白球，那么肯定是只剩下一个黑球了，所以最后桶里面只剩下一个黑球的概率就是1.

解法二： 多读题目几遍，同色放入一个黑球，异色放入一个白球，这个是不是跟数学里面的异或规律很像。假设我们把黑球看成是0，白球看成是1，就很符合题目要求，即： 1 XOR 1=0； 0 XOR 0=0； 1 XOR 0=1。 正如题目所说，取两个就会放一个进去，放进去的球还是有可能再被取出来。假设我们就把取球过程看成是不断的XOR运算过程，则因为XOR运算是满足结合律和交换律的，则我们就可以把这100个白球和100个黑球取出放回的过程看成：

(0 XOR 0 XOR 0……0 XOR 0 XOR 0) XOR (1 XOR 1 XOR 1……1 XOR 1 XOR 1)=0。

即最后的结果一定是0(黑球)，则所求的概率就是1.

由解法二中的异或等式我们可以得到，最后所得的结果取决于1(白球)的个数，若1(白球)个数是偶数，则结果为0(黑球)，若1(白球个数为奇数，则最后的结果就是1(白球)。

通过这个题目，我们在考虑问题的时候不要一味的思维僵化，不能由问题去看问题，最后把自己都绕进去了，要跳出问题圈子，从远处看问题，这样才能看出问题的真正解决办法。