01背包

从给定的N个正数中选取若干个数之和最接近M

阶段是：在前N件物品中，选取若干件物品放入背包中； 　　状态是：在前N件物品中，选取若干件物品放入所剩空间为W的背包中的所能获得的最大价值；

 

 

　　决策是：第N件物品放或者不放； 　　

 

　由此可以写出动态转移方程：

 

　　我们用f[i,j]表示在前 i 件物品中选择若干件放在所剩空间为 j 的背包里所能获得的最大价值

 

　　f[i,j]=max{f[i-1,j-Wi]+Pi (j>=Wi), f[i-1,j]}

 

　　这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[v-c]再加上通过放入第i件物品获得的价值w。

 

#include <iostream>
using namespace std;
 
char state[11][101]; /* 设 N <= 10 M <= 100 记录路径 */
int dp[101];         /* 使用一维数组01背包 */
int value[11];       /* 本题可将费用与价值看做同一值 */
int i, j;
 
void main()
{
    int N, M;
    scanf("%d", &N);
    for(i = 0; i < N; ++i)
    {
        scanf("%d",&value[i]);
    }
 
    while(scanf("%d", &M) != EOF)
    {
        memset(dp,0,sizeof(dp));
 
        /* 01背包 */
        for(i = 0; i < N; ++i)
        {
            for(j = M; j >= value[i]; --j)
            {
                int tmp = dp[j-value[i]] + value[i];
                if(tmp > dp[j])
                {
                    dp[j] = tmp;
                    state[i][j] = 1;
                }
            }
        }
        printf("最接近值：%d\n",dp[M]);
 
        /* 输出方案 */
        i = N;
        j = M;
        while(i-- >= 0)
        {
            if(state[i][j] == 1)
            {
                printf("%d ",value[i]);
                j -= value[i];
            }
        }
        printf("\n");
    }
}