树状数组

树状数组

一、适用范围

• 树状数组是一个查询和修改复杂度都为 (log(n)) 的数据结构，常常用于查询任意区间的所有元素之和。
• 与前缀和的区别是支持动态修改, (log(n)) 的时间进行修改，(log(n)) 查询。
• 支持如下操作：
  • 单点修改区间查询
  • 区间修改单点查询
  • 区间修改区间查询

二、算法原理

1. 树状数组较好的利用了二进制。它的每个节点的值代表的是自己和前面一些连续元素的和。至于到底是前面哪些元素，这就由这个节点的下标决定。

2. 设节点的编号为 (i) ，那么：

[c[i]=sum_{j=i-lowbit(i)+1}^i a[j] ]

3. 即可以推导出：

   C[1] = A[1]  # lowbit(1)个元素之和
   C[2] = C[1] + A[2] = A[1] + A[2]  # lowbit(2)个元素之和
   C[3] = A[3]  # lowbit(3)个元素之和
   C[4] = C[2] + C[3] +A[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] # lowbit(4)个元素之和
   C[5] = A[5]
   C[6] = C[5] + A[6] = A[5] + A[6]
   C[7] = A[7]
   C[8] = C[4] + C[6] + C[7] + A[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8]
   

4. 显然一个节点并不一定是代表自己前面所有元素的和。只有满足 (2^n) 这样的数才代表自己前面所有元素的和。

5. 理解 (lowbit) 函数

   • 原码：如果机器字长为 (n)，那么一个数的原码就是用一个 (n) 位的二进制数，其中最高位为符号位：正数为 (0)，负数为 (1)。剩下的 (n-1) 位表示该数的绝对值。

   • 反码：知道了原码，那么你只需要具备区分 (0) 跟 (1) 的能力就可以轻松求出反码，为什么呢？因为反码就是在原码的基础上，符号位不变其他位按位取反(就是 (0) 变 (1)，(1) 变 (0))就可以了。

   • 补码也非常的简单，就是在反码的基础上按照正常的加法运算加 (1) 。正数的补码就是其本身。负数的补码是在其原码的基础上符号位不变，其余各位取反，最后 (+1)，即取反 (+1)

   • $lowbit(x)=x&-x $ ：表示截取 (x) 二进制最右边的 (1) 所表示的值，可以写成函数或宏定义

   • 注意宏定义是括号，因为宏名只是起到一个替代作用，不加括号在运算时优先级会出问题

     //1. 宏定义，注意括号，不建议这样写,容易产生歧义
     #define lowbit(x) ((x) & -(x))
     //2. 函数写法，推荐写法：
     int lowbit(int x){return x & -x;}
     

三、 树状数组的操作

1. (update) 更新操作

   • 因为树状数组 (c[x]) 维护的是一个或若干个连续数之和，当我们修改了 (a[x]) 之后，(xsim n) 前缀和均发生了变化，所以除了(c[x]) 需要修改之外 (x) 的祖先节点也必须修改而 (x) 的父亲节点为 (x+lowbit(x))，我们叫向上更新。

   • 把序列中第 (i) 个数增加 (x)，(sum[i]sim sum[n]) 均增加了 (x) ，所以我们只需把这个增量往上更新即可。如果，把 (a[i]) 修改成 (x)，则我们向上更新 (a[i]) 的增量：(x-a[i])。

     //1. a[id] 增加 x while写法
     void updata(int id,int x){
         while(id<=n){//向上更新，更新到n为止
             c[id]+=x;
             id+=lowbit(id);
         }
     }
     //2. a[id] 修改成 x  for写法
     void updata(int id,int x){//或者传递参数是x=x-a[id]，此时跟第一种写法一样
         for(int i=id;i<=n;i+=lowbit(i))
             c[i]+=x-a[id];
     }
     

2. (getsum) 查询操作

   • 因为树状数组维护的是一个能够动态修改的前缀和，所以可以在 (log(n)) 的效率下求出前 (n) 项和(sum[i]) 。

   • 如果 (i=2^j (j=0,1,..n))， 此时最简单，显然有：(sum[i]=c[i]) ，如果 (i) 是其他的情况呢？

     • (sum[5]=c[5]+c[4] (4=5-lowbit(5)))
     • (sum[15]=c[15]+c[14]+c[12]+c[8] (14=15-lowbit(15),12=14-lowbit(14),...))

   • 显然，想要求出前 (i) 项前缀和 (sum[i]) ，只需沿着当前节点向下累加直到节点编号为 (2^j) 为止。我们叫向下求和。

     

     int getsum(int id){
         int tot=0;
         for(int i=id;i>0;i-=lowbit(i))
             tot+=c[i];
         return tot;
     }