狄利克雷卷积
积性函数
定义：
对于数论函数(f)，若对于任意互质的数(x,y)，满足(f(x*y)=f(x)*f(y))，则(f)为一个积性函数。
事实上，我们见过的大部分数论函数都是积性函数，常见的如：
- (mu(x))，莫比乌斯函数，在莫比乌斯反演有讨论过。
- (varphi(x))，欧拉函数。
- (d(x))，表示(x)的约数个数。
- (sigma(x))，约数和函数。
- (epsilon(x))，狄利克雷卷积的原函数，即(epsilon(x)=[x=1])。
- (id(x))，定义(id(x)=x)。
- (I(x))，定义(I(x))函数值恒为(1)，即(I(x)=1)。
这只是一小部分，其中有些函数的性质待会会分析。
狄利克雷卷积
定义：
对于数论函数(f)和(g)，定义它们的狄利克雷卷积为：
其中((f*g))表示(f)和(g)的狄利克雷卷积。
然后有一个很重要的性质，对于积性函数(f)和(g)，它们的狄利克雷卷积也是个积性函数。
证明很简单，设质数(p)和(n)互质，则：
然后展开：
由于(f,g)为积性函数，可以拆开提出来：
注意到第一项就是((f*g)(p))，第二项为((f*g)(n))，所以：
命题得证。
根据这个，可以有效的判断函数是否为积性函数。
狄利克雷卷积具有的一些性质：
- 交换律：(f*g=g*f)。
- 结合律：(f*(g*h)=(f*g)*h)。
证明很显然，这里就不赘述了。
然后考虑一些常见函数的狄利克雷卷积：
1．(epsilon(x))。
对于任意数论函数(f)，根据定义，拿一个卷上一个(epsilon)，得到：
即(f*epsilon=f)，
然后我们可以惊奇的发现，卷完了之后得到了他本身，所以说这个函数就是狄利克雷卷积的单位元。
2．(mu(x))。
首先我们知道这样一个式子：
写成狄利克雷卷积形式就是：
３．(varphi(x))。
这个函数有一些很妙的性质，比如说(众所周知)：
证明如下：
设(f(n)=sum_{d|n}varphi(d))，由上面提到的狄利克雷卷积性质可得，(f)为积性函数。
对于(n)的每一个质因数进行考虑，即：
因为(varphi(x^p)=varphi(x^{p-1})*p)，(varphi(x)=x-1)可得：
由等比数列求和可得(f(x^p)=x^p)，又由(f)为积性函数可得(f(n)=n)，得证。
写成狄利克雷卷积的形式就是：
然后注意到(mu*I=epsilon)，于是尝试在等式两边分别卷上一个(mu)：
写成一般形式就是：
这个式子也很常用的。
杜教筛
前置知识终于讲完了
对于积性函数(f)，现在考虑求(sum_{i=1}^nf(i))。
当然我知道你会线筛，但是有一些小清新(无良)出题人把数据开到(1e9)级别，你就做不了了，所以需要更快的算法。
设(S(n)=sum_{i=1}^{n}f(i))。
考虑先拿一个函数和(f)做卷积，先不考虑这个函数是啥，先设它为(g)，则：
对这个函数前缀和一下：
中间交换求和符号就不赘述了。
然后有一个很显然的式子：
然后把等号右边第一项换一下：
剩下的事情就很显然了，如果我们能凑出一个(g)，使得它和(f)的卷积的前缀和很好算，它也很好算，我们就可以先预处理出前(1e7)左右的数据，然后记忆化递归处理(S)。
至于(g)，因题目不同而不同，做多了也就有经验了。
注意上试是杜教筛的套路试子，如果不会推也没关系，记下来就好了。
这里还是举几个栗子吧：
１．(sum_{i=1}^{n}mu(i)).
首先我们知道一个这样的东西：
对于(epsilon)的前缀和，显然是(1)，
所以，令(g(n)=I(n)=1)，得到：
然后数论分块下就行了。
代码也很简单，记住一定要记忆化。
map<int,int > Mu;
int sum_mu(int n) {
if(n<maxn) return mu[n];
if(Mu[n]) return Mu[n];
int T=2,res=1;
while(T<=n) {
int pre=T;T=n/(n/T);
res=res-(T-pre+1)*sum_mu(n/T);T++;
}
return Mu[n]=res;
}
2．(sum_{i=1}^{n}varphi(i)*i)。
这次考虑一个难一点的。
我们的目的是要找一个(g)，使他们卷起来很好算。
那么先列出式子：
然后发现中间有个(i)的系数，可以考虑消去它，于是暂且令(g(n)=n)：
然后可以发现这个东西非常好算，因为：
所以：
总结
对于一个陌生的函数，如果要求前缀和，先判是不是积性函数，然后通过这个函数的性质进行分析凑(g)，也可以像栗２一样凑，实在不行就一个一个试。
当然有时候线筛也是很好的，或者可以枚举因数大力算，不要总是纠结于能不能杜教筛。