[BZOJ5020] [THUWC 2017]在美妙的数学王国中畅游

Description

数字和数学规律主宰着这个世界。

机器的运转，

生命的消长，

宇宙的进程，

这些神秘而又美妙的过程无不可以用数学的语言展现出来。

这印证了一句古老的名言：

“学好数理化，走遍天下都不怕。”

学渣小R被大学的数学课程虐得生活不能自理，微积分的成绩曾是他在教室里上的课的最低分。然而他的某位陈姓室友却能轻松地在数学考试中得到满分。为了提升自己的数学课成绩，有一天晚上（在他睡觉的时候），他来到了数学王国。

数学王国中，每个人的智商可以用一个属于 [0,1]的实数表示。数学王国中有 n 个城市，编号从 0 到 n−1 ，这些城市由若干座魔法桥连接。每个城市的中心都有一个魔法球，每个魔法球中藏有一道数学题。每个人在做完这道数学题之后都会得到一个在 [0,1] 区间内的分数。一道题可以用一个从 [0,1] 映射到 [0,1]的函数 f(x) 表示。若一个人的智商为 x ，则他做完这道数学题之后会得到 f(x)分。函数 f有三种形式：

​ 正弦函数 sin(ax+b) (a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

​ 指数函数 e^(ax+b) (a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

​ 一次函数 ax+b (a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1]

数学王国中的魔法桥会发生变化，有时会有一座魔法桥消失，有时会有一座魔法桥出现。但在任意时刻，只存在至多一条连接任意两个城市的简单路径（即所有城市形成一个森林）。在初始情况下，数学王国中不存在任何的魔法桥。

数学王国的国王拉格朗日很乐意传授小R数学知识，但前提是小R要先回答国王的问题。这些问题具有相同的形式，即一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v（即经过 u 到 v 这条路径上的所有城市，包括 u和 v ）且做了所有城市内的数学题后，他所有得分的总和是多少。

Input

第一行两个正整数 n,m 和一个字符串 type 。

表示数学王国中共有 n 座城市，发生了 m 个事件，该数据的类型为 type 。

typet 字符串是为了能让大家更方便地获得部分分，你可能不需要用到这个输入。

其具体含义在【数据范围与提示】中有解释。

接下来 n 行，第 i 行表示初始情况下编号为 i 的城市的魔法球中的函数。

一个魔法用一个整数 f表示函数的类型，两个实数 a,b 表示函数的参数，若

​ f=1,则函数为 f(x)=sin(ax+b)(a∈[0,1],b∈[0,π],a+b∈[0,π])

​ f=2,则函数为 f(x)=e^(ax+b)(a∈[−1,1],b∈[−2,0],a+b∈[−2,0])

​ f=3,则函数为 f(x)=ax+b(a∈[−1,1],b∈[0,1],a+b∈[0,1])

接下来 m行，每行描述一个事件，事件分为四类。

​ appear u v 表示数学王国中出现了一条连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥 (0≤u,v<n,u≠v) ，保证连接前 u和 v 这两座城市不能互相到达。

​ disappear u v 表示数学王国中连接 u 和 v 这两座城市的魔法桥消失了，保证这座魔法桥是存在的。

​ magic c f a b 表示城市 c 的魔法球中的魔法变成了类型为 f ，参数为 a,b 的函数

​ travel u v x 表示询问一个智商为 x 的人从城市 u 旅行到城市 v

（即经过 u到 v 这条路径上的所有城市，包括 u 和 v ）后，他得分的总和是多少。

若无法从 u 到达 v ，则输出一行一个字符串 unreachable。

1≤n≤100000,1≤m≤200000

Output

对于每个询问，输出一行实数，表示得分的总和。

Sample Input

3 7 C1
1 1 0
3 0.5 0.5
3 -0.5 0.7
appear 0 1
travel 0 1 0.3
appear 0 2
travel 1 2 0.5
disappear 0 1
appear 1 2
travel 1 2 0.5

Sample Output

9.45520207e-001
1.67942554e+000
1.20000000e+000

Solution

对每个函数进行泰勒展开，展开到第(12)项就差不多了。

然后暴力用(LCT)维护系数，每次(update)把系数扫一遍加起来就好了。

关于泰勒展开，不严谨的说：

[sin(ax+b)=sin b+acos bcdot x-frac{a^2sin bcdot x^2}{2!}-frac{a^3cos bcdot x^3}{3!}+...\ e^{ax+b}=sum_{i=0}^{+infty}frac{e^ba^ix^i}{i!} ]

常数超大的(O(nlog n))。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
void read(int &x) {
    x=0;int f=1;char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
 
void print(int x) {
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}

const int maxn = 2e5+10;
const int lim = 11;

#define lf double

char ss[20];
int n,m,_;
int fa[maxn],son[maxn][2],rev[maxn];
lf f[maxn][lim+1],s[maxn][lim+1],fac[maxn];

#define ls son[x][0]
#define rs son[x][1]

int which(int x) {return son[fa[x]][1]==x;}
int nrt(int x) {return son[fa[x]][0]==x||son[fa[x]][1]==x;}

void update(int x) {
	for(int i=0;i<=lim;i++) s[x][i]=f[x][i]+s[ls][i]+s[rs][i];
}

void push_rev(int x) {rev[x]^=1,swap(ls,rs);}
void pushdown(int x) {if(rev[x]) rev[x]=0,push_rev(ls),push_rev(rs);}

void rotate(int x) {
	int y=fa[x],z=fa[y],w=which(x);
	if(nrt(y)) son[z][son[z][1]==y]=x;
	fa[x]=z,fa[y]=x,fa[son[x][w^1]]=y,son[y][w]=son[x][w^1],son[x][w^1]=y;
	update(y),update(x);
}

void push(int x) {if(nrt(x)) push(fa[x]);pushdown(x);}

void splay(int x) {
	push(x);
	for(;nrt(x);rotate(x)) if(nrt(fa[x])) rotate(which(fa[x])==which(x)?fa[x]:x);
	update(x);
}

void access(int x) {for(int t=0;x;splay(x),rs=t,update(t=x),x=fa[x]);}

void make_root(int x) {access(x),splay(x),push_rev(x);}

int find_root(int x) {access(x),splay(x);while(ls) x=ls;return x;}

void split(int x,int y) {make_root(x),access(y),splay(y);}

void link(int x,int y) {make_root(x),fa[x]=y;}

void cut(int x,int y) {split(x,y);fa[x]=son[y][0]=0,update(y);}

void get(int x,int op,lf a,lf b) {
	if(op==1) {
		lf c=sin(b),d=cos(b),r=1.0;
		for(int i=0;i<=lim;i++,r*=a) {
			if(i&1) f[x][i]=d;else f[x][i]=c;
			if((i>>1)&1) f[x][i]*=-1.0;
			f[x][i]*=r;f[x][i]/=fac[i];
		}
	} else if(op==2) {
		lf c=exp(b),r=1.0;
		for(int i=0;i<=lim;i++,r*=a) f[x][i]=c*r/fac[i];
	} else {
		f[x][0]=b,f[x][1]=a;
		for(int i=2;i<=lim;i++) f[x][i]=0;
	}update(x);
}

void modify(int x,int op,lf a,lf b) {
	access(x),splay(x);get(x,op,a,b);update(x);
}

void solve(int u,int v,lf x) {
	split(u,v);if(find_root(v)!=u) return puts("unreachable"),void();
	lf ans=0,r=1.0;
	for(int i=0;i<=lim;i++,r*=x) ans+=s[v][i]*r;
	printf("%.10e
",ans);
}

int main() {
	read(n),read(m),read(_);
	fac[0]=1.0;
	for(int i=1;i<=lim;i++) fac[i]=fac[i-1]*(lf)i;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		int x;lf y,z;scanf("%d%lf%lf
",&x,&y,&z);
		get(i,x,y,z);
	}
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%s",ss+1);int u,v;lf x,y;
		if(ss[1]=='a') read(u),read(v),link(u+1,v+1);
		else if(ss[1]=='d') read(u),read(v),cut(u+1,v+1);
		else if(ss[1]=='m') read(u),read(v),scanf("%lf%lf",&x,&y),modify(u+1,v,x,y);
		else read(u),read(v),scanf("%lf",&x),solve(u+1,v+1,x);
	}
	return 0;
}