题目链接
洛谷：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4389
Solution
挺巧妙的题。
对于每件物品可以看成无穷多个，背包转移可以写成卷积的形式，对于质量为(v)的物品，写成生成函数就是：
[F(x)=sum_{i=0}^{+infty}x^{vi}
]
然后有(1e5)个这样的东西，乘起来就是答案，复杂度(O(mnlog n))。
但这样显然过不了，我们把上面的函数变一下：
[F(x)=sum_{i=0}^{+infty}x^{vi}=frac{1}{1-x^v}
]
然后若干个乘起来就是：
[ans=prod_{i=1}^{n}frac{1}{1-x^{v_i}}
]
考虑用(ln)化成为加：
[ln ans=sum_{i=1}^nln frac{1}{1-x^{v_i}}
]
由于：
[ln F(x)=int F'(x)F^{-1}(x)~{
m{d}}x
]
带进去可得：
[ln frac{1}{1-x^{v}}=int frac{vx^{v-1}}{1-x^v}~{
m{d}}x
]
展开再积分：
[ln frac{1}{1-x^{v}}=int sum_{i=1}^{+infty}vx^{vi-1}~{
m{d}}x=sum_{i=1}^{+infty}frac{1}{i}x^{vi}
]
那么这个就可以直接算了，最后(exp)一下就好了，注意处理出这个函数可以用记个桶然后调和级数的小技巧。
时间复杂度(O(nlog n))。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void read(int &x) {
x=0;int f=1;char ch=getchar();
for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) if(ch=='-') f=-f;
for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';x*=f;
}
void print(int x) {
if(x<0) putchar('-'),x=-x;
if(!x) return ;print(x/10),putchar(x%10+48);
}
void write(int x) {if(!x) putchar('0');else print(x);putchar('
');}
#define lf double
#define ll long long
const int maxn = 8e5+10;
const int inf = 1e9;
const lf eps = 1e-8;
const int mod = 998244353;
int add(int x,int y) {return x+y>mod?x+y-mod:x+y;}
int del(int x,int y) {return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int mul(int x,int y) {return 1ll*x*y-1ll*x*y/mod*mod;}
int w[maxn],rw[maxn],pos[maxn],N,bit,f[maxn];
int tmp[10][maxn],n,m,cnt[maxn],inv[maxn],g[maxn],mxn;
int qpow(int a,int x) {
int res=1;
for(;x;x>>=1,a=mul(a,a)) if(x&1) res=mul(res,a);
return res;
}
void ntt_init() {
w[0]=1,w[1]=qpow(3,(mod-1)/mxn);
for(int i=2;i<=mxn;i++) w[i]=mul(w[i-1],w[1]);
rw[0]=1,rw[1]=qpow(w[1],mod-2);
for(int i=2;i<=mxn;i++) rw[i]=mul(rw[i-1],rw[1]);
}
void ntt_get(int len) {
for(N=1,bit=0;N<=len;N<<=1,bit++);
for(int i=0;i<N;i++) pos[i]=pos[i>>1]>>1|((i&1)<<(bit-1));
}
void ntt(int *r,int op) {
for(int i=0;i<N;i++) if(pos[i]>i) swap(r[i],r[pos[i]]);
for(int i=1,d=mxn>>1;i<N;i<<=1,d>>=1)
for(int j=0;j<N;j+=i<<1)
for(int k=0;k<i;k++) {
int x=r[j+k],y=mul((op==-1?rw:w)[k*d],r[i+j+k]);
r[j+k]=add(x,y),r[i+j+k]=del(x,y);
}
if(op==-1) {int d=qpow(N,mod-2);for(int i=0;i<N;i++) r[i]=mul(r[i],d);}
}
void poly_inv(int *r,int *t,int len) {
if(len==1) return t[0]=qpow(r[0],mod-2),void();
poly_inv(r,t,len>>1);ntt_get(len);
for(int i=0;i<len>>1;i++) tmp[0][i]=r[i],tmp[1][i]=t[i];
for(int i=len>>1;i<len;i++) tmp[0][i]=r[i],tmp[1][i]=0;
for(int i=len;i<N;i++) tmp[0][i]=tmp[1][i]=0;
ntt(tmp[0],1),ntt(tmp[1],1);
for(int i=0;i<N;i++) t[i]=del(mul(2,tmp[1][i]),mul(mul(tmp[1][i],tmp[1][i]),tmp[0][i]));
ntt(t,-1);for(int i=len;i<N;i++) t[i]=0;
}
void poly_der(int *r,int *t,int len) {
for(int i=1;i<len;i++) t[i-1]=mul(i,r[i]);
for(int i=len-1;i<len<<1;i++) t[i]=0;
}
void poly_int(int *r,int *t,int len) {
for(int i=0;i<len;i++) t[i+1]=mul(inv[i+1],r[i]);t[0]=0;
for(int i=len+1;i<len<<1;i++) t[i]=0;
}
void poly_ln(int *r,int *t,int len) {
poly_der(r,tmp[2],len);
poly_inv(r,tmp[3],len);
ntt_get(len),ntt(tmp[2],1),ntt(tmp[3],1);
for(int i=0;i<N;i++) tmp[2][i]=mul(tmp[2][i],tmp[3][i]);
ntt(tmp[2],-1);poly_int(tmp[2],t,len);
for(int i=0;i<len<<1;i++) tmp[3][0]=0;
}
void poly_exp(int *r,int *t,int len) {
if(len==1) return t[0]=1,void();
poly_exp(r,t,len>>1);
poly_ln(t,tmp[4],len);
for(int i=0;i<len;i++) tmp[4][i]=del(r[i],tmp[4][i]);tmp[4][0]=add(tmp[4][0],1);
for(int i=0;i<len;i++) tmp[5][i]=t[i];
for(int i=len;i<len<<1;i++) tmp[4][i]=tmp[5][i]=0;
ntt_get(len);ntt(tmp[4],1),ntt(tmp[5],1);
for(int i=0;i<N;i++) t[i]=mul(tmp[4][i],tmp[5][i]);
ntt(t,-1);for(int i=len;i<N;i++) t[i]=0;
}
int main() {
read(n),read(m);
for(int i=1,x;i<=n;i++) read(x),cnt[x]++;
inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<=m<<2;i++) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
for(int i=1;i<=m;i++)
if(cnt[i]) for(int j=i;j<=m;j+=i) f[j]=add(f[j],mul(cnt[i],inv[j/i]));
ntt_get(m);mxn=N<<1;ntt_init();poly_exp(f,g,N);
for(int i=1;i<=m;i++) write(g[i]);
return 0;
}