UOJ #269. 【清华集训2016】如何优雅地求和
给定一个(m)次多项式(f(x))的(m+1)个点值：(f(0))到(f(m))。
然后求：
[Q(f,n,x) = sum_{k = 0}^{n}f(k){nchoose k}x^k(1 - x) ^{n - k} pmod{998244353}
]
考虑一个很巧妙的变化：组合数多项式！
设：
[f(n)=sum_{i=0}^minom{n}{i}h_i
]
可以这么玩的原因是(inom{n}{m})其实是一个关于(n)的(m)次的多项式。因为(inom{n}{m}=frac{prod_{i=1}^m(n-i+1)}{m!})。
这就能理解为什么输入的是(m+1)个点值了，因为这样我们就能用二项式反演来求出(h)：
对于(m<ileq n)，我们直接认为(h_i=0)，因为只需要(m)项的(h)就可以确定(f)了。
[f(n)=sum_{i=0}^ninom{n}{i}h_i\
Rightarrow h_n=sum_{i=0}^n (-1)^{n-i}inom{n}{i}f_i
]
写成卷积形式：
[frac{h_n}{n!}=sum_{i=0}^nfrac{(-1)^{n-i}}{(n-i)!}frac{f_i}{i!}
]
再来算答案。
考虑对(f)的每一项计算：
[egin{align}
Q(f,n,x) &=sum_{i=0}^mh_isum_{k=i}^ninom{k}{i}inom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \
end{align}
]
我们知道：
[inom{n}{i}inom{i}{j}=inom{n}{j}inom{n-i}{i-j}
]
所以：
[egin{align}
Q(f,n,x) &=sum_{i=0}^mh_isum_{k=i}^ninom{k}{i}inom{n}{k}x^k(1-x)^{n-k} \
&=sum_{i=0}h_isum_{k=i}^ninom{n}{i}inom{n-i}{k-i}x^k(1-x)^{n-k}\
&=sum_{i=0}h_iinom{n}{i}x^i sum_{k=i}^ninom{n-i}{k-i}x^{k-i}(1-x)^{n-k}\
&=sum_{i=0}h_iinom{n}{i}x^i(x+1-x)^{n-i}\
&=sum_{i=0}h_iinom{n}{i}x^i\
end{align}
]
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 20005
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
const ll mod=998244353;
ll ksm(ll t,ll x) {
ll ans=1;
for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
if(x&1) ans=ans*t%mod;
return ans;
}
int n,m,x;
ll f[N];
void NTT(ll *a,int d,int flag) {
static int rev[N<<2];
static ll G=3;
int n=1<<d;
for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);
for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int s=1;s<=d;s++) {
int len=1<<s,mid=len>>1;
ll w=flag==1?ksm(G,(mod-1)/len):ksm(G,mod-1-(mod-1)/len);
for(int i=0;i<n;i+=len) {
ll t=1;
for(int j=0;j<mid;j++,t=t*w%mod) {
ll u=a[i+j],v=a[i+j+mid]*t%mod;
a[i+j]=(u+v)%mod;
a[i+j+mid]=(u-v+mod)%mod;
}
}
}
if(flag==-1) {
ll inv=ksm(n,mod-2);
for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*inv%mod;
}
}
ll A[N<<2],B[N<<2];
ll H[N];
ll fac[N<<2],ifac[N<<2];
ll C(int n,int m) {return fac[n]*ifac[m]%mod*ifac[n-m]%mod;}
ll down[N];
ll CC(int n,int m) {
if(!m) return 1;
return down[m]*ifac[m]%mod;
}
int main() {
n=Get(),m=Get(),x=Get();
for(int i=0;i<=m;i++) f[i]=Get();
fac[0]=1;
for(int i=1;i<=m;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
ifac[m]=ksm(fac[m],mod-2);
for(int i=m-1;i>=0;i--) ifac[i]=ifac[i+1]*(i+1)%mod;
int d=ceil(log2(2*m+1));
ll flag=1;
for(int i=0;i<=m;i++,flag=flag*(mod-1)%mod) A[i]=flag*ifac[i]%mod;
for(int i=0;i<=m;i++) B[i]=f[i]*ifac[i]%mod;
NTT(A,d,1),NTT(B,d,1);
for(int i=0;i<1<<d;i++) A[i]=A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,d,-1);
for(int i=0;i<=m;i++) H[i]=A[i]*fac[i]%mod;
ll ans=0;
down[1]=n;
for(int i=2;i<=m;i++) down[i]=down[i-1]*(n-i+1)%mod;
for(int i=0;i<=m;i++) (ans+=H[i]*ksm(x,i)%mod*CC(n,i))%=mod;
cout<<ans;
return 0;
}