bnu——GCD SUM （莫比乌斯反演）

题目：GCD SUM

题目链接：http://www.bnuoj.com/v3/problem_show.php?pid=39872

算法：莫比乌斯反演、优化

#include<stdio.h>
#define N 100001
typedef long long LL;
bool pri[N]={0};
int prim[N],po=0;
int mu[N];
LL f[N],ff[N];       //缩短时间
/*
  莫比乌斯函数mu[i]的定义：
  1. 如果 i 是素数，那么mu[i]为-1;
  2. 如果 i 是由多个不同的素数组成的，那么mu[i]为-1或者1，取决于质因子的数量，奇数就为-1，偶数为1
  3. 如果 i 不满上面的条件，那么mu[i]为0，比如mu[4]=0;
  用途：想要判断1~m中有多少数与i互质，那么首先计算出i的质因子，采用容斥定理做，排除掉所有质因子的倍数，再加上被重复计算的
  比如i=6、m=20时，首先排除2的倍数，再排除3的倍数，现在6的倍数被排除两次，就加上6的倍数数量。
*/
void Init()
{
  mu[1]=1;
  for(int i=2;i<N;i++)
  {
    if(!pri[i])
    {
      prim[po++]=i;
      mu[i]=-1;
    }
    for(int j=0;j<po;j++)
    {
      LL tmp=i*prim[j];
      if(tmp>=N) break;
      pri[tmp]=1;
      mu[tmp]=mu[i]*-1;
      if(i%prim[j]==0)
      {
        mu[tmp]=0;
        break;
      }
    }
  }
  f[0]=ff[0]=0;
  //f[]：mu的前缀和
  for(int i=1;i<N;i++)
  {
    f[i]=f[i-1]+mu[i];
    ff[i]=ff[i-1]+mu[i]*i;
  }
}
int min(int n,int m)
{
  return n>m?m:n;
}
int main()
{
  Init();
  int n,m;
  while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
  {
    LL ans=0,ansx=0,ansy=0;
    int t=min(n,m);
    int j=1;
    /*
      简化前：
      for(int i=1;i<=t;i++)
      {
        ans+=mu[i]*(n/i)*(m/i);
        可简化原因：(n/i)*(m/i)虽然i一直在变化，但很多时候是相等的，比如15/8等于1，一直到15/15还是等于1。。。
        ansx+=mu[i]*(m/i)*(i+(n/i)*i)*(n/i)/2;
        ...
      }
      n/i：得到值，随着i的增大，如果这个值一直不变，那么这些可以和在一起算。
      n/(n/i)：得到上面值得最大i，从上面的i到现在的i=n/(n/i)，之间的n/i，都等于n/i
    */
    for(int i=1;i<=t;i=j+1)
    {
      j=min(n/(n/i),m/(m/i));
      ans+=(f[j]-f[i-1])*(n/i)*(m/i);
      ansx+=(ff[j]-ff[i-1])*(m/i)*(1+(n/i))*(n/i)/2;
      ansy+=(ff[j]-ff[i-1])*(n/i)*(1+(m/i))*(m/i)/2;
    }
    printf("%lld %lld %lld
",ans,ansx,ansy);
  }
  return 0;
}