埃及分数 ----- 迭代加深搜索

题目：埃及分数

题目链接：http://codevs.cn/problem/1288/

题目大意：

　　给出一个分数，由分子a 和分母b 构成，现在要你分解成一系列互不相同的单位分数（形如：1/a，即分子为1），要求：分解成的单位分数数量越少越好，如果数量一样，最小的那个单位分数越大越好。

如：

　　19/45 = 1/3 + 1/12 + 1/180;

　　19/45 = 1/5 + 1/6 + 1/18;

　　以上两种分解方法都要3个单位分数，但下面一个的最小单位分数1/18比上一个1/180大，所以第二个更优。

思路：

　　虽然是求最优解，但这道明显不是广搜吧（空间要求太高），而且很明显是用深搜做，即从1~无穷，每一个分母，都有选中和不选中两种状态，如果选中，那么就减去这个分数，没有就是跳过，但无穷到底是哪里呢，而且具体要选几个呢，这就是这道题的难点。因为多组答案的优先级是由单位分数的个数首先决定，那么我们可以逐次放宽个数的限制，即迭代加深搜索。

　　迭代加深搜索的具体内容：第一次，我限制只能用k个单位分数来完成，如果找完所有情况，还是没找到解，那么我现在用k+1个单位分数解决，这样优点如下：

　　1. 肯定保证最优解，因为我用k个来完成分解就说明比k小的个数分解不出来，如果分解得出来，我在那时就退出循环了。

　　2. 虽然看似重复进行了很多遍的搜索，但上一层的搜索量和下一层比起来太少了，不影响总的时间复杂度。

抛开逐步解开个数限制外，每一个个数限制下的做法和平常的深入优先搜索大致相同，要注意剪枝！

主要的两个剪枝如下：

　　1. 限制开头：并不是每次都要从1开始遍历分母，假设现在要分解a/b，那么分母b/a就是起点，因为b/a的分数太大，起始点已经超过了a/b，没有什么意义：1/(b/a)=a/b ，假设起点s<b/a，那么显而易见，起点的分数已经比我们要的总和（a/b）大了。

　　2. 限制结尾：

　　　　（1）比较简单的限制结尾可以这样看：如果我已经找到分母k了，而现在要分解得分数是a/b，现在还要找m个单位分数，那么可以想象：有可能 m * ( 1/k ) 还小于a/b，也就是说就算全是1/k，我凑够m个，也达不到a/b，那么说明前面的分配方案肯定有无，直接可以return了。加上这个剪枝已经可以得到答案了，只是时间有点慢罢了。

　　　　（2）现在我们假设终点为t，还要找m个单位分数，现在的分数剩下a/b，那么很容易有m * (1/t) <= a / b  ，也就是说我如果m个都用最小的，肯定小于等于a/b。（等于号就是说有可能m=1，我可能直接终点就是答案，如果m>1，那么终点肯定也不可能选到，假设选了（后面还要选（m-1）个，肯定凑不够）这样子，由上面的式子，经过变换，可以得到 t >= m*b/a ，也就是说终点为m*b/a。

有了思路代码还是很容易的：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>

int gcd(int a,int b)
{
  return b?gcd(b,a%b):a;
}

int ans[1000],ao;
int out[1000],oo;

void dfs(int limit,int h,int ma,int mb)
{
  if(h==limit) return ;
  if(mb%ma==0 && mb/ma>ans[ao-1] && ( oo<=0 || mb/ma < out[oo-1] ))
  {
    ans[ao++]=mb/ma;
    oo=ao;
    memcpy(out,ans,sizeof(ans));
    ao--;
    return ;
  }
  int i=mb/ma-1;
  if(i<=ans[ao-1]) i=ans[ao-1]; //ans[ao-1]就是前面找过的最后一个，这前面的都处理过（选中or不选中）
  int j=(limit-h)*mb/ma;
  while(++i<=j)
  {
    if(oo>0&&i>=out[oo-1]) return ;
    int g=gcd(i,mb);
    int k=i/g;
    //if(ma*i/mb+h>limit) return ;
    int x=mb*k;
    int y=ma*k-mb/g;
    if(y<0) continue;
    ans[ao++]=i;
    if(y==0)
    {
      oo=ao;
      memcpy(out,ans,sizeof(ans));
      ao--;
      return ;
    }
    dfs(limit,h+1,y,x);
    ao--;
  }
}

int main()
{
  int a,b;
  while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF)
  {
    ao=0;
    oo=0;
    for(int i=1;i<100;i++)
    {
      //printf("%d
",i);
      dfs(i,0,a,b);
      if(oo>0) break;
    }
    for(int i=0;i<oo;i++)
    {
      if(i!=0) printf(" ");
      printf("%d",out[i]);
    }
    printf("
");
  }
  return 0;
}