1.2 递归与递推

1. 递推与递归的宏观描述

1. 对于一个待求解的问题，我们由已知的某个小问题进而一步一步推向该问题的方法称为递推
2. 递归正好与递推的方向相反，它是由大问题逐步分解为小问题，然后回溯到大问题进行解决的方法。

2. 递推与递归的简单应用

枚举形式	状态空间规模	一般遍历方式
多项式	nk,k为常数	循环、递推
指数	kn,k为常数	递归、位运算
排列	n！	递归、C++ next_permutation
组合	$inom{n}{m}$	递归+剪枝

 

3. 分治

把一个问题分解成若干个规模更小的同类子问题，对这些子问题求解，然后在回溯时通过他们推导出原问题的解。

4. 递归的机器实现

可以通过维护一个栈，将调用函数和返回函数的压栈出栈过程进行模拟，从而将递归实现循环。

 

相关练习：

1. 0301 递归实现指数型枚举

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

vector<int> ans;

int n, flag;

void dfs(int dep, int idx){
    if(dep == 0){
        for(auto i : ans)
            cout<<i <<' ';
        cout<<endl;
        return ;
    }
    
    for(int i = idx; i <= n; ++i){
        if(!(flag & (1 << i))){
            flag += 1 << i;
            ans.push_back(i);
            dfs(dep-1, i+1);
            ans.pop_back();
            flag -= 1 << i;
            
            //dfs(dep, i);
        }
    }
    
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i = 0; i <= n; ++i)
        dfs(i, 1);
    return 0;
}

2. 0302 递归／非递归实现组合型枚举

//递归型

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;

vector<int> ans;

int n, m;

void dfs(int x){
    if(ans.size() == m){
        for(auto i: ans)
            cout<<i<<' ';
        cout<<endl;
        return ;
    }
    

    for(int i = x; i <= n; ++i){
        
        ans.push_back(i);
        dfs(i+1);
        ans.pop_back();
    }
}


int main(){
    cin>>n>>m;
    dfs(1);
    return 0;
}



//递推型

#include<iostream>
#include<deque>

using namespace std;


struct info{
    char x;
    deque<char> t;
};

int n, m;

deque<info> st;



int main(){
    cin>>n>>m;

    
    st.push_back({1, {}}); 
    
    while(st.size()){
        
        auto t = st.front();
        st.pop_front();
        
        if(n - t.x + 1 < m - t.t.size()) continue;
        
        for(int k = t.x; k <= n; ++k){
            info l = t;
            if(t.t.size() < m){
                l.t.push_back(k);
                l.x = k + 1;
                st.push_back(l);
            }
        }
        
        if(t.t.size() == m){
            for(auto x: t.t)
                printf("%d ", x);
            cout<<endl;
        }
        
    }
    
    return 0;
}

3. 0303 递归实现排列型枚举 

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

vector<int> ans;
int n, flag;

void dfs(int x){
    if(x > n){
        for(auto i: ans)
            cout<<i<<' ';
        cout<<endl;
        return;
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; ++i ){
        if(!(flag & (1 << i))){
            ans.push_back(i);
            flag += 1 << i;
            dfs(x + 1);
            ans.pop_back();
            flag -= 1 << i;
        }
    }
}


int main(){
    cin>>n;
    dfs(1);
    
    return 0;
}

4. 0201 费解的开关 

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;


//#define _Debug

int n;
vector<string> record;

const int dx[] = {-1, 0, 1, 0}, dy[] = {0, 1, 0, -1};

void change(int x, int y, vector<string>& s){
    char & t = s[x][y];
    
    
    if(t == '1') t = '0';
    else t = '1';
    
    
}

void set_bit(int x, int y, vector<string>& t){
    change(x, y, t);

        
    for(int i = 0; i < 4; ++i){
        int nx = x + dx[i], ny = y + dy[i];
        if(nx >= 0 && ny >= 0 && nx < 5 && ny < 5){
            change(nx, ny, t);
        }
    }
    

    
}

int get_res(){
    
    int minv = 0x3f3f3f3f;
    
    for(int i = 0; i < (1 << 5) -1; ++i){
        vector<string> t = record;

        #ifdef _Debug
            cout<<i<<endl;
            cout<<t[1]<<endl;
        #endif
        
        int step = 0;
        for(int j = 0; j < 5; ++j){
            if(i & (1 << j)){
                ++step;
                set_bit(0, j, t);
            }
        }
        
        
        #ifdef _Debug
            cout<<t[1]<<endl;
        #endif
        
        
        for(int j = 0; j < 4; ++j){
            for(int k = 0; k < 5; ++k)
                if(t[j][k] == '0')
                    set_bit(j+1, k, t), ++step;
        }
        
        
        bool flag = true;
        
        for(int i = 0; i < 5; ++i){
            if(t[4][i] == '0') flag = false;
        }
        
        
        if(flag) minv = min(minv, step);
    }
    
    return minv;
}


int main(){
    cin>>n;
    while(n --){
        string t;
        for(int i = 0; i < 5; ++i){
            cin>>t;
            record.push_back(t);
        }
        
        
        int step = get_res();
        if(step <= 6) cout<<step<<endl;
        else puts("-1");
        
        record.clear();
    }
    
    return 0;
}

5. POJ1958 Strange Towers of Hanoi 

#include<iostream>
#include<cstring>

using namespace std;

const int N = 20;

int dp3[N], dp4[N];

int main(){
    memset(dp3, 0x3f, sizeof dp3), memset(dp4, 0x3f, sizeof dp4);
    dp3[0] = 0, dp4[0] = 0;
    
    for(int i = 1; i < 13; ++i) dp3[i] = dp3[i - 1] * 2 + 1;
    
    for(int i = 1; i < 13; ++i)
        for(int j = 0; j <= i; ++j)
            dp4[i] = min(dp4[i], dp4[j] * 2 + dp3[i - j]);
    
    for(int i = 1; i < 13; ++i)
        cout<<dp4[i]<<endl;
    
    return 0;
}

6. POJ1845 Sumdiv