That Nice Euler Circuit UVALive

欧拉定理：

简单多面体的顶点数V、棱数E及面数F间有关系有著名的欧拉公式：V-E+F=2。

设G为任意的连通的平面图，则v-e+f=2，v是G的顶点数，e是G的边数，f是G的面数。（引）

证明(?)

这题的做法就是模拟画线的过程，统计出画每一条线时与之前所有线的交点，将所有交点记录下来，将每一个顶点也记录下来。然后将点去重，得到点数。然后统计每一条线上有几个点，那么这条线就被分成了点数+1段，这样得到边数。最后根据公式算出面数。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
namespace X
{
    const double eps=1e-10;
    struct Point
    {
        double x,y;
        Point(double x=0,double y=0):x(x),y(y){}
    };
    typedef Point Vec;
    Vec operator+(const Vec& a,const Vec& b)
    {
        return Vec(a.x+b.x,a.y+b.y);
    }
    Vec operator-(const Vec& a,const Vec& b)
    {
        return Vec(a.x-b.x,a.y-b.y);
    }
    Vec operator*(const double& a,const Vec& b)
    {
        return Vec(a*b.x,a*b.y);
    }
    Vec operator*(const Vec& a,const double& b)
    {
        return Vec(b*a.x,b*a.y);
    }
    Vec operator/(const Vec& a,const double& b)
    {
        return Vec(a.x/b,a.y/b);
    }
    int dcmp(double x)
    //正为1，负为-1，0为0
    {
        if(fabs(x)<eps)    return 0;
        return x<0?-1:1;
    }
    bool operator<(const Vec& a,const Vec& b)
    //人为规定的优先级
    {
        return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);
    }
    bool operator==(const Vec& a,const Vec& b)
    //判向量相等
    {
        return dcmp(a.x-b.x)==0&&dcmp(a.y-b.y)==0;
    }
    double dot(const Vec& a,const Vec& b)
    //点积
    {
        return a.x*b.x+a.y*b.y;
    }
    double cross(const Vec& a,const Vec& b)
    //叉积
    {
        return a.x*b.y-a.y*b.x;
    }
    double len(const Vec& x)
    //向量长度
    {
        return sqrt(dot(x,x));
    }
    double angle(const Vec& a,const Vec& b)
    //夹角，0~180°
    {
        return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b));
    }
    double angle1(const Vec& a,const Vec& b)
    //夹角，带方向，a到b逆时针为正，顺时针为负，共线为0
    {
        return acos(dot(a,b)/len(a)/len(b))*(dcmp(cross(a,b)));
    }
    Vec rotate(const Vec& a,const double& rad)
    //旋转，正为逆时针，负为顺时针
    {
        return Vec(a.x*cos(rad)-a.y*sin(rad),a.x*sin(rad)+a.y*cos(rad));
    }
    Vec normal(const Vec& x)
    //单位法线，左转90°后除以自身长度
    {
        double l=len(x);
        return Vec(-x.y/l,x.x/l);
    }
    Vec normal1(const Vec& x)
    //法线，不归一化
    {
        return Vec(-x.y,x.x);
    }
    Point lineline(const Point& p,const Vec& v,const Point& q,const Vec& w)
    //直线交点,GetLineIntersection
    {
        return p+v*cross(w,p-q)/cross(v,w);
    }
    double ptline(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
    //point_to_line,点到直线距离,DistanceToLine
    {
        Vec v1=b-a,v2=p-a;
        return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
    }
    double ptseg(const Point& p,const Point& a,const Point& b)
    //point_to_segment,点到线段距离,DistanceToSegment
    {
        if(a==b)    return len(p-a);
        //Vec v1=b-a,v2=a-p,v3=p-b;
        Vec v1=b-a,v2=p-a,v3=p-b;
        if(dcmp(dot(v1,v2))<0)    return len(v2);
        else if(dcmp(dot(v1,v3))>0)    return len(v3);
        else return fabs(cross(v1,v2)/len(v1));
    }
    double area2(const Point& a,const Point& b,const Point& c)
    //叉积对应平行四边形的面积
    {
        return cross(b-a,c-a);
    }
    double thrarea(const Point& a,const Point& b,const Point& c)
    //三角形面积，绝对值
    {
        return fabs(cross(b-a,c-a)/2);
    }
    bool ifpar(const Vec& a,const Vec& b)
    //ifParallel
    //是否共线/平行
    {
        return dcmp(cross(a,b))==0;
    }
    Point pointline(const Point& p,const Point& a,const Vec& v)
    //点在直线上投影,GetLineProjection
    {
        return a+v*(dot(p-a,v)/dot(v,v));
    }
    bool ifsegseg(const Point& a1,const Point& a2,const Point& b1,const Point& b2)
    //SegmentProperIntersection,线段相交判定，不包含端点，不允许共线。有交点时求交点直接用直线交点即可
    //此处就是求两条线段的两个端点是否都分别在另一条线段的两侧
    {
        double c1=cross(a2-a1,b1-a1),c2=cross(a2-a1,b2-a1),
            c3=cross(b2-b1,a1-b1),c4=cross(b2-b1,a2-b1);
        return dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<0;
    }
    bool ifonseg(const Point& p,const Point& a1,const Point& a2)
    //OnSegment,点是否在线段上
    //这样就能判定向量p a1与p a2共线，且方向相反
    {
        return dcmp(cross(a1-p,a2-p))==0&&dcmp(dot(a1-p,a2-p))<0;
    }
    bool ifsegseg1(const Point& a1,const Point& a2,const Point& b1,const Point& b2)
    //线段相交判定，包含端点，允许共线
    {
        double c1=cross(a2-a1,b1-a1),c2=cross(a2-a1,b2-a1),
            c3=cross(b2-b1,a1-b1),c4=cross(b2-b1,a2-b1);
        return (dcmp(c1)*dcmp(c2)<0&&dcmp(c3)*dcmp(c4)<0)||
        (dcmp(c1)==0&&dcmp(c2)==0)||ifonseg(a1,b1,b2)||
        ifonseg(a2,b1,b2)||ifonseg(b1,a1,a2)||ifonseg(b2,a1,a2);
    }
    double polyarea(Point p[],int n)
    //PolygonArea,有向面积，要求点按顺序能组成多边形（不会边相交，可以凹），如果顺时针转就是负，逆时针就是正（未验证）
    {
        double ans=0;
        for(int i=1;i<n-1;i++)
            ans+=cross(p[i]-p[0],p[i+1]-p[0]);
        return ans/2;
    }
};
using namespace X;
Point p[310];
Point p2[100000];
int n,v,e,T;
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    while(n!=0)
    {
        v=0;e=n-1;
        scanf("%lf%lf",&p[1].x,&p[1].y);
        p2[++v]=p[1];
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            scanf("%lf%lf",&p[i].x,&p[i].y);p2[++v]=p[i];
            for(j=1;j<=i-2;j++)
            {
                if(ifsegseg(p[i-1],p[i],p[j],p[j+1]))
                    p2[++v]=lineline(p[i-1],p[i]-p[i-1],p[j],p[j+1]-p[j]);
            }
        }
        sort(p2+1,p2+v+1);
        v=unique(p2+1,p2+v+1)-p2-1;
        for(i=1;i<n;i++)
            for(j=1;j<=v;j++)
                if(ifonseg(p2[j],p[i],p[i+1]))
                    e++;
        printf("Case %d: There are %d pieces.
",++T,e+2-v);
        scanf("%d",&n);
    }
    return 0;
}