Histogram LightOJ

Histogram LightOJ - 1083

题意：给出一个直方图，由n个长条组成，它们的x轴上坐标分别为1-n，读入n之后读入的一行中，第i个表示x轴上坐标为i的长条长度。求直方图最大的正方形面积。

方法：

核心是求出每个长条向左右可以"扩展"的最大长度。

法一：单调栈

将n个元素的编号依次入栈。每次入栈前，设要入栈的编号为x，对应长度为l，将栈顶的编号对应的长度大于等于l的所有编号出栈（由于此题的一些特性，将“大于等于”改为“大于”也可以使用，但这不是标准的单调栈）。这之后，栈顶元素就是x能扩展到的最左端的端点减1（注意，是减1）。对于某个元素，其出栈的那一刻，使其出栈的x减一就是其能扩展到的最右侧的端点。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int T,n,ans,len;
int st[30100],a[30100],l[30100],r[30100];
void push(int idx)
{
    while(len>0&&a[st[len]]>=a[idx])    r[st[len--]]=idx-1;
    l[idx]=st[len];
    st[++len]=idx;
}
int main()
{
    int i,TT;
    scanf("%d",&T);
    for(TT=1;TT<=T;TT++)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        len=0;
        ans=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
            push(i);
        while(len>0)    r[st[len--]]=n;
        for(i=1;i<=n;i++)
            ans=max(ans,a[i]*(r[i]-l[i]));
        printf("Case %d: %d
",TT,ans);
    }
    return 0;
}

(由于题目的某些特性，即使单调栈在push时不把相同的pop出来也可以过。然而正确的单调栈一般都要把相同的也pop出来)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int T,n,ans,len;
int st[30100],a[30100],l[30100],r[30100];
void push(int idx)
{
    while(len>0&&a[st[len]]>a[idx])    r[st[len--]]=idx-1;
    l[idx]=st[len];
    st[++len]=idx;
}
int main()
{
    int i,TT;
    scanf("%d",&T);
    for(TT=1;TT<=T;TT++)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        len=0;
        ans=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
            push(i);
        while(len>0)    r[st[len--]]=n;
        for(i=1;i<=n;i++)
            ans=max(ans,a[i]*(r[i]-l[i]));
        printf("Case %d: %d
",TT,ans);
    }
    return 0;
}

法二：奇奇怪怪的方法，类似链表/kmp的预处理

left[i]和right[i]分别表示能扩展到的最左/右侧的高度小于等于它的长条的编号。看起来可能很慢，但是实际上均摊复杂度O(n)。

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int T,n,ans;
int a[30100],left[30100],right[30100];
int main()
{
    int TT,i;
    scanf("%d",&T);
    for(TT=1;TT<=T;TT++)
    {
        ans=0;
        scanf("%d",&n);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            left[i]=i;
            while(left[i]>1&&a[left[i]-1]>=a[i])    left[i]=left[left[i]-1];
        }
        for(i=n;i>=1;i--)
        {
            right[i]=i;
            while(right[i]<n&&a[right[i]+1]>=a[i])    right[i]=right[right[i]+1];
        }
        for(i=1;i<=n;i++)
            ans=max(ans,a[i]*(right[i]-left[i]+1));
        printf("Case %d: %d
",TT,ans);
    }
}

 法三：一个区间由区间最小值控制。对于某一个区间，答案要么包含这个最小值，要么在最小值左侧区间取，要么在右侧区间取。因此预处理解决RMQ，然后分治解决。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int T,TT,n;
int minn[21][30100],a[30100];
int query(int l,int r)
{
    int k=0;
    while((1<<(k+1))<=r-l+1)    ++k;
    return a[minn[k][l]]>a[minn[k][r-(1<<k)+1]]?minn[k][r-(1<<k)+1]:minn[k][l];
}
int get(int l,int r)
{
    if(l>r)    return 0;
    if(l==r)
        return a[l];
    int pos=query(l,r);
    return max(max(get(l,pos-1),get(pos+1,r)),a[pos]*(r-l+1));
}
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d",&T);
    for(TT=1;TT<=T;TT++)
    {
        memset(minn,0,sizeof(minn));
        memset(a,0,sizeof(a));
        scanf("%d",&n);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);
        for(i=1;i<=n;i++)
            minn[0][i]=i;
        for(i=1;(1<<i)<=n;i++)
            for(j=1;j<=n-(1<<i)+1;j++)
                minn[i][j]=a[minn[i-1][j]]>a[minn[i-1][j+(1<<(i-1))]]?minn[i-1][j+(1<<(i-1))]:minn[i-1][j];
        printf("Case %d: %d
",TT,get(1,n));
    }
    return 0;
}