【CF 189A Cut Ribbon】dp

题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/189/A

题意：一个长度为n的纸带，允许切割若干次，每次切下的长度只能是{a, b, c}之一。问最多能切成多少块。

思路：动态规划，记dp[i] 为当前已经切下总长度 i 时最多能切成的块数，即规模为 i 的子问题。

状态的转移比较好想，每次只可能从dp[i-a], dp[i-b], dp[i-c]三个方向通过加一转移过来。

问题的初始化我考虑得有点复杂：先把a, b, c从小到大排序，然后对于 i 属于[0, a), [a, b), [b, c]三个区间按顺序初始化dp[i]：判断 i 能否分解成{a}, {a, b}, {a, b, c}的“线性组合”，可以的话取系数和最大的那个作为dp[i]。

初始化之后就是线性的从[c, n]的枚举，每次取三个转移方向中最优的那个。

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <string>
#include <cstdlib>
#include <cctype>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <stack>
#include <queue>
#include <assert.h>
#define FREAD(fn) freopen((fn), "r", stdin)
#define RINT(vn) scanf("%d", &(vn))
#define PINT(vb) printf("%d", vb)
#define RSTR(vn) scanf("%s", (vn))
#define PSTR(vn) printf("%s", (vn))
#define CLEAR(A, X) memset(A, X, sizeof(A))
#define REP(N) for(i=0; i<(N); i++)
#define REPE(N) for(i=1; i<=(N); i++)
#define pb(X) push_back(X)
#define pn() printf("
")
using namespace std;
const int MAX_N = 4005;
int i, j;
int n, a, b, c;
int dp[MAX_N];//dp[i]=总长度为i时能切成的最大块数

int main()
{
    CLEAR(dp, 0);
    RINT(n);
    RINT(a); RINT(b); RINT(c);
    if(a > b) swap(a, b);
    if(b > c) swap(b, c);
    for(i=0; i<a; i++)
        dp[i] = 0;
    for(i=a; i<b; i++){
        if(i % a == 0) dp[i] = i/a;
        else dp[i] = 0;
    }
    for(i=b; i<=c; i++){
        if(i % a == 0){
            dp[i] = i/a;
            continue;
        }
        else{
            bool flag = 0;
            for(j=0; j*a < i; j++){
                if((i-j*a) % b == 0){
                    flag = 1;
                    dp[i] = max(dp[i], j + (i-j*a)/b);
                }
            }
            if(flag) continue;
        }
        if(i % b == 0) dp[i] = max(dp[i], i/b);
        else if(i == c) dp[i] = max(dp[i], 1);
        else dp[i] = 0;
    }
    //printf("dp[%d] = %d
", b, dp[b]);
    for(i=c; i<=n; i++){
        if(dp[i-a] > 0) 
            dp[i] = max(dp[i], dp[i-a] + 1);
        if(dp[i-b] > 0)
            dp[i] = max(dp[i], dp[i-b] + 1);
        if(dp[i-c] > 0)
            dp[i] = max(dp[i], dp[i-c] + 1);
    }
    // REP(n) 
    //     printf("dp[%d]  = %d
", i, dp[i]);
    PINT(dp[n]);
    return 0;
}