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  • 【洛谷P1939】【模板】矩阵加速(数列)

    题目大意:

    题目链接:https://www.luogu.org/problemnew/show/P1939
    f1=f2=f3=1,fn=fn3+fn1f_1=f_2=f_3=1,f_n=f_{n-3}+f_{n-1}。求fnf_n


    前言

    这篇博客并不是专门来介绍矩阵乘法加速递推的。
    但是既然是模板题就提一下吧。


    什么是矩阵乘法?

    下面是来自度娘的解释:
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    也就是说,对于两个矩阵AABB,在满足第一个矩阵的列数=第二个矩阵的行数时,这两个矩阵就可以相乘。那么假设AAm×pm imes p的矩阵,BBp×np imes n的矩阵,那么他们相乘得到的矩阵CC就是一个m×nm imes n的矩阵。
    而且对于矩阵CC的任意元素ij_{ij},都等于矩阵A第i行的所有数字分别乘上矩阵B第j列的所有数字之和。(其实就是上图的公式)


    矩阵乘法和递推的关系?

    矩阵乘法和递推关系最密切的例子就是斐波那契数列了。↓
    矩阵乘法求斐波那契数列
    现在看不懂没关系,可以慢慢理解。
    我们知道,斐波那契数列有这样的定义:
    fi=fi1+fi2f_i=f_{i-1}+f_{i-2}
    那么如果我们有一个2×22 imes 2的矩阵,其中第一行分别是fi1f_{i-1}fi2f_{i-2}。我们的目标是把第一行承上一个矩阵变成fif_ifi1f_{i-1}。那么应该怎么办呢?
    在这里插入图片描述

    首先,矩阵AA和矩阵CC都含有fi1f_{i-1}这一项。那么就先从这里下手。
    我们知道,矩阵CCfi1f_{i-1}在第11行第22列。那么,根据公式,可以得到
    C1,2=A1,1×B2,1+A1,2×B2,2C_{1,2}=A_{1,1} imes B_{2,1}+A_{1,2} imes B_{2,2}
    也就是说
    fi1=fi1×B2,1+fi2×B2,2f_{i-1}=f_{i-1} imes B_{2,1} +f_{i-2} imes B_{2,2}
    那么很明显,我们可以得到B2,1=1,B2,2=0B_{2,1}=1,B_{2,2}=0。这样可以保证进行矩阵乘法之后C1,2C_{1,2}fi1f_{i-1}
    在这里插入图片描述
    那么现在来看矩阵CC中的fif_i。我们要保证的是
    C1,1=A1,1×B1,1+A1,2×B2,1C_{1,1}=A_{1,1} imes B_{1,1}+A_{1,2} imes B_{2,1}
    也就是说
    fi=fi1×B1,1+fi2×B2,1f_{i}=f_{i-1} imes B_{1,1}+f_{i-2} imes B_{2,1}

    我们知道,fi=fi1+fi2f_i=f_{i-1}+f_{i-2}。所以可以得到B1,1=1,B2,1=1B_{1,1}=1,B_{2,1}=1
    在这里插入图片描述

    那么整个矩阵BB都被我们求出来了。
    得到了fif_ifi1f_{i-1}后,我们再将它乘一次矩阵BB,就可以得到fi+1f_{i+1}fif_i,又可以得到fi+2f_{i+2}fi+1...f_{i+1}...
    这样就可以得到fnf_n了。

    但是!

    你以为就结束了?
    这样的时间复杂度是O(nm2)O(nm^2),其中nn表示求斐波那契数列的第nn项,mm表示矩阵的长宽。还不如递推。而且递推可以得到11nn的所有斐波那契数,而矩阵乘法只能求第nn项。
    其实还有个地方可以优化。
    我们求fnf_n的时候其实是将原矩阵AA乘了n1n-1次矩阵BB的。也就是说
    =A×Bn1目标矩阵=A imes B^{n-1}
    看到n1n-1次方想到了什么?
    可以用快速幂!
    我们用快速幂的思想求出Bn1B^{n-1},然后再乘上一个矩阵AA即可。
    怎么用快速幂?
    其实是一个道理。只不过把矩阵AA乘矩阵BB换成矩阵BB乘矩阵BB就可以了。
    那么最终的时间复杂度为O(m3logn)O(m^3logn)。还是很优秀的。
    代码


    下面进入正题。


    思路:

    可以发现矩阵

    在这里插入图片描述

    然后就是套模板了。。。


    代码:

    #include <cstdio>
    #include <cstring>
    #define MOD 1000000007
    #define ll long long
    using namespace std;
    
    const ll b[4][4]=
    {
    	{0,0,0,0},
    	{0,0,0,1},
    	{0,1,0,0},
    	{0,0,1,1}
    };
    int T,n;
    ll f[4],a[4][4];
    
    
    void mul(ll f[4],ll a[4][4])
    {
    	ll c[4];
    	memset(c,0,sizeof(c));
    	for (int i=1;i<=3;i++)
    	 for (int j=1;j<=3;j++)
    	  c[i]=(c[i]+f[j]*a[j][i])%MOD;
    	memcpy(f,c,sizeof(c));
    }
    
    void mulself(ll a[4][4])
    {
    	ll c[4][4];
    	memset(c,0,sizeof(c));
    	for (int i=1;i<=3;i++)
    	 for (int j=1;j<=3;j++)
    	  for (int k=1;k<=3;k++)
    	   c[i][j]=(c[i][j]+a[i][k]*a[k][j])%MOD;
    	memcpy(a,c,sizeof(c));
    }
    
    void ask(int x)
    {
    	while (x)
    	{
    		if (x&1) mul(f,a);
    		x>>=1;
    		mulself(a);
    	}
    }
    
    int main()
    {
    	scanf("%d",&T);
    	while (T--)
    	{
    		scanf("%d",&n);
    		if (n<4) 
    		{
    			printf("1
    ");
    			continue;
    		}
    		memcpy(a,b,sizeof(b));
    		f[1]=f[2]=f[3]=1;
    		ask(n-3);
    		printf("%lld
    ",f[3]);
    	}
    	return 0;
    }
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/hello-tomorrow/p/11998472.html
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