矩阵连乘问题_动态规划

1）问题引导

一个demo

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int array1[3][4]={{1,1,1,2},{2,2,3,3},{3,4,4,4}};
    int array2[4][3]={{1,1,1},{2,2,2},{3,3,3},{4,4,4}};
    int array3[3][3];
    for(int i=0;i<3;i++){
        for(int j=0;j<3;j++)
        {
            for(int k=0;k<4;k++)
            {
                array3[i][j]=array1[i][k]*array2[k][j];
            }
        }
    }
    for(int i=0;i<3;i++){
        for(int j=0;j<3;j++)
        {
            cout << array3[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}

从上面我们可以知道不同的结合方式，矩阵计算的次序数不一样，那么如何求这个最小次序数的划分，即如何结合。这就是矩阵连乘问题

使用动态规划可以解决

如下图，如果我们使用递归，则会产生大量的重复计算，复杂度太高，当然使用备忘录降低复杂度。不过更好的是使用递推

递推算法分析如下：

 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
void matrixChain(int n,int p[],int m[][100],int s[][100])//递推
{
   for(int i=1;i<=n;i++){//对角线先为0
    m[i][i]=0;
   }
   for(int r=2;r<=n;r++){//一共n-1个对角线
    for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//第i行
        int j=i+r-1;//在该行的对角线上的点对应的j值
        m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//初始化此时在i处取得最优解
        s[i][j]=i;
        for(int k=i+1;k<j;k++){//如果有更小的则被替换
            int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
            if(t<m[i][j])
            {
                m[i][j]=t;
                s[i][j]=k;
            }
        }
    }
   }
}
void print_optimal_parents(int s[100][100],int i,int j)//打印划分的结果
 {
     if( i == j)
         cout<<"A"<<i;
     else
     {
         cout<<"(";
         print_optimal_parents(s,i,s[i][j]);
         print_optimal_parents(s,s[i][j]+1,j);
         cout<<")";
     }

 }
int main()
{
    int p[1000];//每个矩阵的行数和最后一个的列数
    int m[100][100];//存储最优子结构
    int s[100][100];//存储当前结构的最优断点
    memset(p,0,sizeof(p));
    memset(m,0,sizeof(m));
    memset(s,0,sizeof(s));
    cout << "请输入矩阵的个数"<< endl;
    int n;
    cin >> n;
    cout << "请依次输入每个矩阵的行数和最后一个矩阵的列数"<< endl;
    for(int i=0;i<=n;i++){
        cin >> p[i];
    }
    matrixChain(n,p,m,s);
    cout <<"这些矩阵相乘的最少次数是"<<m[1][n]<<endl;

     cout<<"结果是:"<<endl;
     print_optimal_parents(s,1,n);
    return 0;
}