历届试题 格子刷油漆

历届试题 格子刷油漆  

问题描述

　　X国的一段古城墙的顶端可以看成 2*N个格子组成的矩形（如下图所示），现需要把这些格子刷上保护漆。


　　你可以从任意一个格子刷起，刷完一格，可以移动到和它相邻的格子（对角相邻也算数），但不能移动到较远的格子（因为油漆未干不能踩！）
　　比如：a d b c e f 就是合格的刷漆顺序。
　　c e f d a b 是另一种合适的方案。
　　当已知 N 时，求总的方案数。当N较大时，结果会迅速增大，请把结果对 1000000007 (十亿零七) 取模。

输入格式

　　输入数据为一个正整数（不大于1000）

输出格式

　　输出数据为一个正整数。

样例输入

2

样例输出

24

样例输入

3

样例输出

96

样例输入

22

样例输出

359635897

 

思路：毕竟是决赛题，难度是很大的（对我来说），看了这位博主的思路，才发现规律真的很奇妙，导航门https://www.jianshu.com/p/214d09476203

1构造数组a[x]、b[x]。a[x]表示在2 * x的格子条件下，从四个角任意一个角的格子出发，遍历全体格子的方法总数，b[x]表示在2 * x的条件下，从四个角任意一个角的格子出发，遍历全体格子后回到与之相对的格子中的方法总数。
显然，a[1]=1，b[1]=1。

递推式：
a[x]=
b[x]=b[x-1] * 2
推导如下：

 

2. 先考虑出发点在角上，从一个角出发，只有3种可能性。
   （1）先去同一列相邻的格子，然后前往下一列，这就简化成从2 * (x-1)的格子中，从一个角出发，遍历全体格子的 问题。因为前往下一列有两种选法，所以有2 * a[x-1]种方法。
   （2）先去相邻列的同一行的格子。又分为：
   先去左下角，再去右边部分， a[x-2] * 2种方法
   先遍历右边的所有，再回来左下角，b[x-1]种方法
   （3）先去右下角的格子，又分为：
   先去左边格子，再遍历右边，a[x-2] * 2种方法
   先遍历右边，再去左边，b[x-1]种方法

整理可得
a[x]=a[x-1] * 2+a[x-2] * 4+b[x-1] * 2
b[x]=2 * b[x-1]
而从中间某列的一点（2种选择）出发时，显然不能直接往下走，否则无法遍历所有的点，应当先遍历左边（右边）左右的点，然后回到相对的点，再遍历右边（左边）的点。假设从第i列出发，出发的点有两种选择，第二步也有两种选择，因此所有的走法有2 * (b[i-1] * 2 * 2 * a[n-i]+ 2 * b[n-i] * 2 * a[i-1])种。加法的前一半时先遍历左边，后一半是先遍历右边。

于是，总数就是4 * a[x]+Σ（2到n-1）2 * (b[i-1] * 2 * 2 * a[n-i]+ 2 * b[n-i] * 2 * a[i-1])

代码方面注意对取余的处理就行了

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main()
{
    int x;
    cin >> x;
    long  long int a[x+1];
    long long int b[x+1];
    a[1]=1;
    b[1]=1;
    a[2]=6;
    long long int def=1000000007;
    for(int i=2;i<=x;i++){
        b[i]=(b[i-1]*2);
        b[i]%=def;
    }
    for(int i=3;i<=x;i++){
        a[i]=(a[i-1]*2+a[i-2]*4+b[i-1]*2);
        a[i]%=def;
    }
    long long int sum=0;
    sum=4*a[x];
    for(int i=2;i<=x-1;i++){
        sum+=2*(b[i-1]*2*2*a[x-i]%def+2*b[x-i]*2*a[i-1]%def);
        sum%=def;
    }
if(x==1) sum=2;
    cout <<sum;
    return 0;
}