KD-tree 专题「Hide and Seek · 巧克力王国 · JZPFAR ·K远点对」

Lockey的瞎理解

　　抄了一遍板子又水了俩题，感觉对KD-tree 稍稍理解了一点儿，唠叨一下（二维的KD-tree），如有错误请指出（Lockey 洗脸恭听）

　　普通平衡树维护的是一维的序列，但对于二维（可以建平衡树套平衡树，但不好维护）甚至多维就凉了，所以就用到了KD-tree这一神奇的数据结构（伪装“砖家”ing～）

　　KD-tree 将二维的平面分别按x,y轮流划分，将平面建成一棵BST ，然后查找，在树中维护当前点所代表的值以及记录以它为根的子树信息（最大值，最小值，值的和，等等），

而通过当前点的信息我们可以判断是否需要往下走，以此来进行查找统计，当然这个判断条件一定要正确（百分百保证不能往下走或需要往下走）

　　为了优化时间，KD-tree中进行剪枝也比较重要，如要统计最大值，可以先用估价函数估计该点两个儿子的估值，比较两个儿子，走估值比较大的儿子，如此，等这个儿子回溯回来，最大值有可能被更新，使得原本大于原来的最大值的而可以走的另一个儿子，现在小于当前最大值而不能走，从而实现剪枝

Hide and Seek（中文名：捉迷藏）

KD-tree板子题一道

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,maximum,minimum,sz,now,ans;
struct Point{
    int x[2];
}sour[510000];
int comp(Point a,Point b){
    return a.x[now]<b.x[now];
}
int dis(Point a,Point b){
    return abs(a.x[0]-b.x[0])+abs(a.x[1]-b.x[1]); 
}
struct KD_Tree{
    KD_Tree *ch[2];
    Point ponit;
    int maxn[2],minn[2];
    void redef(Point a){
        ponit=a,minn[0]=maxn[0]=a.x[0],minn[1]=maxn[1]=a.x[1],ch[0]=ch[1]=NULL;
    }
    void update(KD_Tree *a){
        minn[0]=min(minn[0],a->minn[0]),maxn[0]=max(maxn[0],a->maxn[0]);
        minn[1]=min(minn[1],a->minn[1]),maxn[1]=max(maxn[1],a->maxn[1]);
    }
    void pushup(){
        if(ch[0]) update(ch[0]);
        if(ch[1]) update(ch[1]);
    }
    int calc_min(Point a){
        return max(minn[0]-a.x[0],0)+max(a.x[0]-maxn[0],0)+max(minn[1]-a.x[1],0)+max(a.x[1]-maxn[1],0);
    }
    int calc_max(Point a){
        return max(abs(a.x[0]-minn[0]),abs(a.x[0]-maxn[0]))+max(abs(a.x[1]-minn[1]),abs(a.x[1]-maxn[1]));
    }
}*root,tr[510000];
void build(KD_Tree *&p,int l,int r,int d){
    if(l>r) return;
    p=tr+(sz++),now=d;
    nth_element(sour+l,sour+((l+r)/2),sour+(r+1),comp);
    p->redef(sour[((l+r)/2)]);
    build(p->ch[0],l,((l+r)/2)-1,d^1);
    build(p->ch[1],((l+r)/2)+1,r,d^1);
    p->pushup();  
    
}
void query_max(KD_Tree *p,Point cmp){
    if(p==NULL) return;
    maximum=max(dis(p->ponit,cmp),maximum);
    int Dis[2]={p->ch[0]==NULL?0:p->ch[0]->calc_max(cmp),p->ch[1]==NULL?0:p->ch[1]->calc_max(cmp)};
    int first=Dis[0]>Dis[1]?0:1;
    if(Dis[first]>maximum) query_max(p->ch[first],cmp);
    if(Dis[first^1]>maximum) query_max(p->ch[first^1],cmp);
}
void query_min(KD_Tree *p,Point cmp){
    if(p==NULL) return;
    if(dis(p->ponit,cmp)) minimum=min(dis(p->ponit,cmp),minimum);
    int Dis[2]={p->ch[0]==NULL?0x7f7f7f7f:p->ch[0]->calc_min(cmp),p->ch[1]==NULL?0x7f7f7f7f:p->ch[1]->calc_min(cmp)};
    int first=Dis[0]<Dis[1]?0:1;
    if(Dis[first]<minimum) query_min(p->ch[first],cmp);
    if(Dis[first^1]<minimum) query_min(p->ch[first^1],cmp); 
}
int query_max(Point cmp){
    maximum=0,query_max(root,cmp);
    return maximum;
}
int query_min(Point cmp){
    minimum=0x7fffffff,query_min(root,cmp);
    return minimum;
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    ans=0x7f7f7f7f;
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&sour[i].x[0],&sour[i].x[1]);
    build(root,1,n,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans=min(ans,query_max(sour[i])-query_min(sour[i]));
    }
    printf("%d
",ans);
}

 巧克力王国

　每个点记录以它为根的子树中x,y最大值最小值以及子树中的h和，为什么要这样呢？因为如果只记录最小值无法在有负数是判断，只记录最大值和最小值，会超时

　   而记录了最大值与最小值不仅可以百分百确定是否往下走，而且能够判断这棵子树中的所有巧克力是不是全都能接受，如果全都能接受的话，就不需要往下走了，直接 $ans+= a*sumx+b*sumy $,然后return即可

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long

int n,m,sz,now;
ll sum,a,b,c;

struct Cho{
    ll x[2],h;
}chok[51000];
int comp(Cho a,Cho b){
    return a.x[now]<b.x[now];
}
struct KD_Tree{
    KD_Tree *ch[2];
    Cho qiao;
    ll minn[2],maxn[2],hsum;
    void redef(Cho a){
        qiao=a,minn[0]=maxn[0]=a.x[0],minn[1]=maxn[1]=a.x[1],ch[0]=ch[1]=NULL;
        hsum=a.h;
    }
    void update(KD_Tree *a){
        minn[0]=min(minn[0],a->minn[0]);
        minn[1]=min(minn[1],a->minn[1]);
        maxn[0]=max(maxn[0],a->maxn[0]);
        maxn[1]=max(maxn[1],a->maxn[1]);
        hsum+=a->hsum;
    }
    void pushup(){
        if(ch[0]) update(ch[0]);
        if(ch[1]) update(ch[1]);
    }
    ll calc_C(){
        return min(a*minn[0],a*maxn[0])+min(b*minn[1],b*maxn[1]);
    }
    
}*root,tr[51000];
void build(KD_Tree *&p,int l,int r,int d){
    if(l>r) return;
    p=tr+(sz++),now=d;
    nth_element(chok+l,chok+((l+r)/2),chok+(r+1),comp);
    p->redef(chok[(l+r)/2]);
    build(p->ch[0],l,(l+r)/2-1,d^1);
    build(p->ch[1],(l+r)/2+1,r,d^1);
    p->pushup();
}
int judge(KD_Tree *p){
    ll x=a>0?p->maxn[0]:p->minn[0],
       y=b>0?p->maxn[1]:p->minn[1];
    return a*x+b*y<c;
}
void query_sum(KD_Tree *p){
    if(p==NULL) return;
    if(judge(p)){
        sum+=p->hsum;
        return;
    }
    if((p->qiao.x[0]*a+p->qiao.x[1]*b)<c) sum+=p->qiao.h;
    ll Dis[2]={p->ch[0]==NULL?0:p->ch[0]->calc_C(),p->ch[1]==NULL?0:p->ch[1]->calc_C()};
    if(Dis[0]<c&&p->ch[0]) query_sum(p->ch[0]);
    if(Dis[1]<c&&p->ch[1]) query_sum(p->ch[1]);
}
void query_sum(){
    sum=0;
    query_sum(root);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld%lld",&chok[i].x[0],&chok[i].x[1],&chok[i].h);
    build(root,1,n,0);
    while(m--){
        scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
        query_sum();
        printf("%lld
",sum);
    }
}

JZPFAR

　　题意是说要找距离第k大，一开始我是想维护一个大根堆，从堆顶pop，一直删k-1次后，堆顶的位置就是ans，然后发现为了剪枝我们需要找到当前堆中第K大的距离，与要插入的值（或估值）比较，如果比当前第K大还小就不插入，理论上好像能行，但是操作起来有些麻烦

　　因此改用了小根堆

　　对于每组询问，维护一个大小为Ki的小根堆，当大小小于Ki时见谁插谁；当大小等于Ki，只有在当前的距离（或估值）大于堆顶时才可加入，且每加入一个就pop一个保持堆的大小。

　　最后，大小为K的堆表示，所有距离中最大的K个距离，而堆顶就是第K大

　　PS： 应该可以用手写堆优化，但没打对，好像是死循环，改了一下午，有时间要多多的练习一下手写堆

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define INF 0x7fffffff
#define int long long
int n,m,sz,now,px,py,pk;


int top;//大根堆
struct Queue{
    int val,pos;
    Queue(int a=0,int b=0){val=a,pos=b;}
    bool operator < (const Queue &a) const{
        return val==a.val?pos<a.pos:val>a.val;
    }
};
priority_queue<Queue>q;
struct node{
    int x[2],id;
}sour[110000];

int comp(node a,node b){return a.x[now]<b.x[now];}
int multi(int a){return a*a;}

struct KD_Tree{
    KD_Tree *ch[2];
    node po;
    int maxn[2],minn[2];
    void redef(node a){
        po=a,maxn[0]=minn[0]=a.x[0],maxn[1]=minn[1]=a.x[1],ch[0]=ch[1]=NULL;
    }
    void update(KD_Tree *a){
        maxn[0]=max(maxn[0],a->maxn[0]),minn[0]=min(minn[0],a->minn[0]);
        maxn[1]=max(maxn[1],a->maxn[1]),minn[1]=min(minn[1],a->minn[1]);
    }
    void pushup(){
        if(ch[0]) update(ch[0]);
        if(ch[1]) update(ch[1]);
    }
    int clac_max(){
        return max(multi(maxn[0]-px),multi(px-minn[0]))+max(multi(maxn[1]-py),multi(py-minn[1]));
    }
}*root,tr[110000];

int len(KD_Tree *p){
    return multi(p->po.x[0]-px)+multi(p->po.x[1]-py);
}

void build(KD_Tree *&p,int l,int r,int d){
    if(l>r) return;
    p=tr+(sz++),now=d;
    nth_element(sour+l,sour+((l+r)/2),sour+r+1,comp);
    p->redef(sour[(l+r)/2]);
    build(p->ch[0],l,(l+r)/2-1,d^1);
    build(p->ch[1],(l+r)/2+1,r,d^1);
    p->pushup();
}

void query_kth(KD_Tree *p){
    if(p==NULL) return;
    if(top<pk||len(p)>q.top().val||(len(p)==q.top().val&&p->po.id<q.top().pos)){
        q.push(Queue(len(p),p->po.id));
        if(q.size()>pk) q.pop();
    }
    int Dis[2]={
        p->ch[0]==NULL?-INF:p->ch[0]->clac_max(),
        p->ch[1]==NULL?-INF:p->ch[1]->clac_max()
    };
    int first=Dis[0]>Dis[1]?0:1;
    if(q.size()<pk||Dis[first]>=q.top().val){
        query_kth(p->ch[first]);
    }
    if(q.size()<pk||Dis[first^1]>=q.top().val){
        query_kth(p->ch[first^1]);
    }
}
void query_kth(){
    while(q.size()) q.pop();
    query_kth(root);
}
signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld",&sour[i].x[0],&sour[i].x[1]),sour[i].id=i;
    build(root,1,n,0);
    scanf("%lld",&m);
    while(m--){
        scanf("%lld%lld%lld",&px,&py,&pk);
        query_kth();
        printf("%lld
",q.top().pos);
    }
}

K远点对

　　求距离第K远的点对的距离，和上一题一样，只不过小根堆维护的是全局第K大，不需要再每次清空了，

　　for循环枚举所有的点作为一端，再走一遍就行，注意（1，2）和（2，1）是同一点对，只能算一次

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
#define INF 0x7fffffff
#define ll long long
ll n,m,sz,now,px,py,yxm;

struct Queue{
    ll val;
    Queue(ll a=0){val=a;}
    bool operator < (const Queue &a) const{
        return val>a.val;
    }
};
priority_queue<Queue>q;
struct node{
    ll x[2],id;
}sour[110000];

ll comp(node a,node b){return a.x[now]<b.x[now];}
ll multi(ll a){return a*a;}

struct KD_Tree{
    KD_Tree *ch[2];
    node po;
    ll maxn[2],minn[2];
    void redef(node a){
        po=a,maxn[0]=minn[0]=a.x[0],maxn[1]=minn[1]=a.x[1],ch[0]=ch[1]=NULL;
    }
    void update(KD_Tree *a){
        maxn[0]=max(maxn[0],a->maxn[0]),minn[0]=min(minn[0],a->minn[0]);
        maxn[1]=max(maxn[1],a->maxn[1]),minn[1]=min(minn[1],a->minn[1]);
    }
    void pushup(){
        if(ch[0]) update(ch[0]);
        if(ch[1]) update(ch[1]);
    }
    ll clac_max(){
        return max(multi(maxn[0]-px),multi(px-minn[0]))+max(multi(maxn[1]-py),multi(py-minn[1]));
    }
}*root,tr[110000];

ll len(KD_Tree *p){
    return multi(p->po.x[0]-px)+multi(p->po.x[1]-py);
}

void build(KD_Tree *&p,ll l,ll r,ll d){
    if(l>r) return;
    p=tr+(sz++),now=d;
    nth_element(sour+l,sour+((l+r)/2),sour+r+1,comp);
    p->redef(sour[(l+r)/2]);
    build(p->ch[0],l,(l+r)/2-1,d^1);
    build(p->ch[1],(l+r)/2+1,r,d^1);
    p->pushup();
}
ll judge(KD_Tree *p){
    return q.size()<m||len(p)>=q.top().val;
}
void query_kth(KD_Tree *p){
    if(p==NULL) return;
    if(p->po.id>yxm&&judge(p)){
        q.push(Queue(len(p)));
        if(q.size()>m) q.pop();
    }
    ll Dis[2]={p->ch[0]==NULL?-INF:p->ch[0]->clac_max(),p->ch[1]==NULL?-INF:p->ch[1]->clac_max()};
    ll first=Dis[0]>Dis[1]?0:1;
    if(q.size()<m||Dis[first]>=q.top().val) query_kth(p->ch[first]);
    if(q.size()<m||Dis[first^1]>=q.top().val) query_kth(p->ch[first^1]);
}
void query_kth(){
    query_kth(root);
}
signed main(){
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        scanf("%lld%lld",&sour[i].x[0],&sour[i].x[1]),sour[i].id=i;
    build(root,1,n,0);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        px=sour[i].x[0],py=sour[i].x[1],yxm=sour[i].id;
        query_kth();
    }
//    while(q.size())
    printf("%lld
",q.top().val);
}

未完待续～