旋转数组的最小数字

题目：把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如数组{3，4，5，1，2}为{1，2，3，4，5}的一个旋转，该数组的最小值为1.

实现数组的旋转见左旋转字符串。

和二分查找法一样，用两个指针分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。

我们注意到旋转之后的数组实际上可以划分为两个排序的子数组，而且前面的子数组的元素都大于或者等于后面子数组的元素。我们还可以注意到最小的元素刚好是这两个子数组的分界线。我们试着用二元查找法的思路在寻找这个最小的元素。

首先我们用两个指针，分别指向数组的第一个元素和最后一个元素。按照题目旋转的规则，第一个元素应该是大于或者等于最后一个元素的（这其实不完全对，还有特例。后面再讨论特例）。

接着我们得到处在数组中间的元素。如果该中间元素位于前面的递增子数组，那么它应该大于或者等于第一个指针指向的元素。此时数组中最小的元素应该位于该中间 元素的后面。我们可以把第一指针指向该中间元素，这样可以缩小寻找的范围。同样，如果中间元素位于后面的递增子数组，那么它应该小于或者等于第二个指针指 向的元素。此时该数组中最小的元素应该位于该中间元素的前面。我们可以把第二个指针指向该中间元素，这样同样可以缩小寻找的范围。我们接着再用更新之后的 两个指针，去得到和比较新的中间元素，循环下去。

按 照上述的思路，我们的第一个指针总是指向前面递增数组的元素，而第二个指针总是指向后面递增数组的元素。最后第一个指针将指向前面子数组的最后一个元素， 而第二个指针会指向后面子数组的第一个元素。也就是它们最终会指向两个相邻的元素，而第二个指针指向的刚好是最小的元素。这就是循环结束的条件。

核心实现代码：

int Min(int *numbers , int length)
{
	if(numbers == NULL || length <= 0)
		return;

	int index1 = 0;
	int index2 = length - 1;
	int indexMid = index1;
	while(numbers[index1] >= numbers[index2])
	{
		if(index2 - index1 == 1)
		{
			indexMid = index2;
			break;
		}

		indexMid = (index1 + index2) / 2;
		//如果下标为index1、index2和indexMid指向的三个数字相等，则只能顺序查找
		if(numbers[index1] == numbers[index2] && numbers[indexMid] == numbers[index1])
			return MinInOrder(numbers , index1 , index2);

		if(numbers[indexMid] >= numbers[index1])
			index1 = indexMid;
		else if(numbers[indexMid] <= numbers[index2])
			index2 = indexMid;
	}
	return numbers[indexMid];
}

//顺序查找
int MinInOrder(int *numbers , int index1 , int index2)
{
	int result = numbers[index1];
	for(int i = index1 + 1 ; i <= index2 ; ++i)
	{
		if(result > numbers[i])
			result = numbers[i];
	}
	return result;
}

 注意：当两个指针指向的数字及他们中间的数字三者相同的时候，我们无法判断中间的数字是位于前面的字数组还是后面的子数组中，也就无法移动两个指针来缩小查找的范围。此时，我们不得不采用顺序查找的方法。

本题考查了对二分查找的理解。

其中二分查找法的实现代码如下：

int binary_search(int array[] , int len , int value)
{
    int left = 0;
    int right = len - 1;
    while(left <= right){
        int middle = left + ((right - left) >> 1);
 
        if(array[middle] > value){
            right = middle - 1;
        }
        else if(array[middle] < value){
            left = middle + 1;
        }
        else
            return middle;
         
    }
    return -1;
}

问题：二分查找中值的计算

这是一个经典的话题，如何计算二分查找中的中值？

算法一： mid = (low + high) / 2

算法二： mid = low + (high – low)/2

乍 看起来，算法一简洁，算法二提取之后，跟算法一没有什么区别。但是实际上，区别是存在的。算法一的做法，在极端情况下，(low + high)存在着溢出的风险，进而得到错误的mid结果，导致程序错误。而算法二能够保证计算出来的mid，一定大于low，小于high，不存在溢出的 问题。