[ZJOI2019]开关

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题面

洛谷

题解

令(P=sum p_i)。

那么按到最终状态不停下继续往下按的 EGF 是

[F(x)=prod frac {e^{frac {p_i}Px}+e^{-frac {p_i}Px}(-1)^{s_i}}2 ]

从某个状态按回自身状态的 EGF 为

[G(x)=prod frac{e^{frac {p_i}Px}+e^{-frac {p_i}Px}}2 ]

我们把(F(x))变为其 OGF (f(x))（直接把(x^i)下面的(i!)）去掉，(G(x))变为其 OGF (g(x))，那么这分别就是(F,G)的概率生成函数。
答案的概率生成函数(h(x))就是(frac fg)，那么最终把(h'(1))求出来就是答案。

然后考虑如何求上述的所有东西：

首先是 EGF 转OGF：

[egin{aligned} F(x)&=sum_{i=-P}^Pa_ie^{frac iPx}\ &=sum_{i=-P}^Pa_isum_{jgeq 0}frac {(frac {xi}P)^j}{j!} end{aligned} ]

把(j!)去掉后直接等比数列求和：

[f(x)=sum_{i=-P}^Pfrac {a_i}{1-frac {xi}{P}} ]

然后是求(h'(1)=(frac {f(1)}{g(1)})'=frac {f'(1)g(1)-f(1)g'(1)}{g(1)^2})。
考虑到当(f(x),g(x),x=1)时必有分母(=1-frac PP=0)，所以我们将(f,g)同乘(1-x)，结果不影响而且当(x=1)时有意义。
因为((frac {1-x}{1-wx})'large {|}_{x=1}=frac {1}{w-1})
然后有(f'(1)=sum_{i=-P}^{P-1} frac {a_i}{frac iP-1})，(g'(1))同理。
然后因为(f,g)均为概率生成函数所以(f(1)=g(1)=1)，所以我们就做完了（(2^n)也抵掉了）。

代码

#include <bits/stdc++.h> 
using namespace std; 
int gi() { 
	int res = 0, w = 1; 
	char ch = getchar(); 
	while (ch != '-' && !isdigit(ch)) ch = getchar(); 
	if (ch == '-') w = -1, ch = getchar(); 
	while (isdigit(ch)) res = res * 10 + ch - '0', ch = getchar(); 
	return res * w; 
} 
const int Mod = 998244353; 
int fpow(int x, int y) {
	int res = 1; 
	while (y) {
		if (y & 1) res = 1ll * res * x % Mod; 
		x = 1ll * x * x % Mod, y >>= 1; 
	} 
	return res; 
} 
const int MAX_N = 1e5 + 5; 
void Pls(int &x, int y) { x += y; if (x >= Mod) x -= Mod; } 
int N, s[MAX_N], p[MAX_N], P; 
int f[MAX_N], g[MAX_N], tf[MAX_N], tg[MAX_N]; 
int main () { 
#ifndef ONLINE_JUDGE 
    freopen("cpp.in", "r", stdin); 
#endif 
	N = gi(); 
	for (int i = 1; i <= N; i++) s[i] = gi(); 
	for (int i = 1; i <= N; i++) p[i] = gi(), P += p[i]; 
	f[P] = g[P] = 1; 
	for (int i = 1, k = 0; i <= N; i++) { 
		k += p[i]; 
		for (int j = 0; j <= P << 1; j++) tf[j] = tg[j] = 0; 
		for (int j = 0; j <= P << 1; j++) { 
			if (j - p[i] >= 0) Pls(tf[j], f[j - p[i]]); 
			if (j + p[i] <= P << 1) Pls(tf[j], s[i] ? (-f[j + p[i]] + Mod) : f[j + p[i]]);  
		} 
		for (int j = 0; j <= P << 1; j++) { 
			if (j - p[i] >= 0) Pls(tg[j], g[j - p[i]]); 
			if (j + p[i] <= P << 1) Pls(tg[j], g[j + p[i]]);  
		} 
		for (int j = 0; j <= P << 1; j++) f[j] = tf[j], g[j] = tg[j]; 
	} 
	int ans = 0, inv = fpow(P, Mod - 2); 
	for (int i = -P; i < P; i++) Pls(ans, 1ll * f[i + P] * fpow(1ll * (i + Mod) * inv % Mod - 1, Mod - 2) % Mod); 
	for (int i = -P; i < P; i++) Pls(ans, Mod - 1ll * g[i + P] * fpow(1ll * (i + Mod) * inv % Mod - 1, Mod - 2) % Mod); 
	printf("%d
", ans); 
    return 0; 
}