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  • 线性代数导论(一)向量介绍

    参考资料:《Introduction to linear algebra》4th edition by Gilbert Strang

    链接:https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg 
    提取码:s9bl 

    网易公开课:http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html  麻省理工公开课:线性代数

    思考:

    (一)相似矩阵是同一个线性变换的不同描述矩阵

    (二)对象的变换等价于坐标系的变换(运动是相对的),如对于变换$Ma=b$,可以看作$Ma=Ib$,坐标系$M$和$I$类似于环境声明,$a$和$b$为相应坐标系下的坐标向量;求解上述变换可得$Ia=IM^{-1}b$,当坐标系声明均为$I$时,可得$a=M^{-1}b$

    1. 线性组合:向量加法和标量乘法的组合

    其中,$c,d$为标量,$mathcal{v},mathcal{w}$为向量

    2. 向量点积/内积:对应元素相乘后相加

    (1)点积为0,则表示两个向量相互垂直($cos heta=0$,夹角为90度

    (2)向量的长度:向量与自身点积的平方根

    (3)单位向量的长度为1,可以通过非零向量与自身长度相除得到

    (4)两个单位向量的点积即为夹角的余弦值(夹角小于90度为正,夹角大于90度为负)

    例如,当$mathcal{u}$为单位旋转向量$(cos heta, sin heta)$,$mathcal{i}$为单位向量$(1,0)$时,$ucdot i=cos heta$;同时旋转$alpha$,即$eta= heta+alpha$,点积为$cosalphacoseta+sinalphasineta=cos(eta-alpha)=cos heta$

    (5)当向量不是单位向量时,相应的余弦定理如下:

    由于$|cos heta|leq 1$,可以得到施瓦茨不等式(内积的绝对值不超过长度的乘积)三角不等式(两边之和大于第三边)如下:

    注:三角不等式的证明如下

    $$parallelmathcal{v}+mathcal{w}parallel^{2} = parallelmathcal{v}parallel^{2} + 2mathcal{v}mathcal{w} + parallelmathcal{w}parallel^{2} leq parallelmathcal{v}parallel^{2} + 2parallelmathcal{v}parallelparallelmathcal{w}parallel + parallelmathcal{w}parallel^{2} =  (parallelmathcal{v}parallel + parallelmathcal{w}parallel)^{2}$$

    当$mathcal{v}=(a,b)$,$mathcal{w}=(b,a)$时,施瓦茨不等式为:$2ableq a^2+b^2$;令$x=a^2, y=b^2$,可以得到几何均值$sqrt{xy}$小于算数均值$frac{1}{2}(x+y)$的结论:

     3. 矩阵和向量的乘积可以看作是矩阵各列的线性组合

    4. 向量线性无关和线性相关

    线性相关的$n*n$方阵不可逆

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