[洛谷P1072]Hankson 的趣味题「数论」

[洛谷P1072]Hankson 的趣味题「数论」

题目描述

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 (c_{1}) 和 (c_{2}) 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数(a_{0}),(a_{1}),(b_{0}),(b_{1}) 设某未知正整数 (x) 满足：

1． (x) 和 (a_{0}) 的最大公约数是 (a_{1})​；

2． (x) 和 (b_{0})​ 的最小公倍数是 (b_{1})。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 (x)。但稍加思索之后，他发现这样的 (x) 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 (x) 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数 (n)，表示有 (n) 组输入数据。接下来的(n) 行每行一组输入数据，为四个正整数 (a_{0}),(a_{1}),(b_{0}),(b_{1})，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 (a_{0})​ 能被 (a_{1}) 整除，(b_{1}) 能被 (b_{0}) 整除。

输出格式

共 (n) 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 (x)，请输出 (0)，若存在这样的 (x)，请输出满足条件的 (x) 的个数；

输入输出样例

输入 #1

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出 #1

6 
2

思路分析

• 复习数论时从虎歌博客上看到这道题，拿来做一做
• 求最大公约数和最小公倍数而已，上去从(a_{1})暴力枚举，直接判断，显然超时，只拿了50分。
• 这题是在素数的唯一分解定理下推荐的，这题竟然还和素数有关系？？？那就考虑用一下这个定理

素数唯一分解定理：

• 定义：任何一个大于 1 的正整数都能被唯一分解为有限个素数的乘积
  那么这题和这个定理到底有啥关系？
• 本题应用：
  首先我们可以根据这个定理得出以下关系：
  (a_{1} = p_{1}*p_{2}*...*p_{x}*p_{y})
  根据题意：(gcd(x,a_{0})=a_{1})
  所以可以得出这样的关系：
  (x = p_{1}*p_{2}*p_{x}*p_{y}*...*p_{i}*p_{j} = a_{1}*...*p_{i}*p_{j})
  (a_{0} = p_{1}*p_{2}*p_{x}*p_{y}*...*p_{m}*p_{n} = a_{1}*...*p_{m}*p_{n})
  不难发现，(x)和(a_{0})除与(a_{1})相同的部分素数以外，其余的各自的组成素数各不相同，即(x/a_{1})与(a_{0}/a_{1})互质，得出(gcd(x/a_{1},a_{0}/a_{1})==1)
• 推广结论：
  对于两个正整数(a,b)，设(gcd(a,b)=k)，则存在(gcd(a/k,b/k)=1)
• 应用结论：
  根据(lcm(x,b_{0})=b_{1})得出(gcd(x,b_{0}) = x*b_{0}/b_{1})
  最后可推出以下两个式子
  (gcd(x/a_{1},a_{0}/a_{1})=1)
  (gcd(b_{1}/b_{0},b_{1}/x)=1)
  接下来我们只要枚举(b_{1})的因子，并且这个因子是(a_{1})的倍数，同时满足以上两式即可

ps：挨个打数学符号是真滴麻烦

代码

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
   int s=0,w=1;
   char ch=getchar();
   while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
   while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
   return s*w;
}

int gcd(int x,int y){
	return y==0? x : gcd(y,x%y);
}
int lcm(int x,int y){
	return x*y/gcd(x,y);
}
int main(){
	int n;n = read();
	for(int i = 1;i <= n;i++){
		int a,a1,b,b1;
		a = read(),a1 = read(),b = read(),b1 = read();
		int ans = 0;
		for(int x=1;x*x<=b1;x++){//枚举到sqrt(b1)即可
        	if(b1%x==0){
                if(x%a1==0&&gcd(x/a1,a/a1)==1&&gcd(b1/b,b1/x)==1) ans++; //满足条件
                int y=b1/x;//同时得出另一个因子
                if(x==y) continue; 
                if(y%a1==0&&gcd(y/a1,a/a1)==1&&gcd(b1/b,b1/y)==1) ans++;
            }
        }
		printf("%d
",ans);
	}
	return 0;
}