天使玩偶「CDQ分治」

天使玩偶「CDQ分治」

题目描述

Ayu 在七年前曾经收到过一个天使玩偶，当时她把它当作时间囊埋在了地下。而七年后 的今天，Ayu 却忘了她把天使玩偶埋在了哪里，所以她决定仅凭一点模糊的记忆来寻找它。

我们把 Ayu 生活的小镇看作一个二维平面坐标系，而 Ayu 会不定时地记起可能在某个点 (x,y) 埋下了天使玩偶；或者 Ayu 会询问你，假如她在 ((x,y))，那么她离近的天使玩偶可能埋下的地方有多远。

因为 Ayu 只会沿着平行坐标轴的方向来行动，所以在这个问题里我们定义两个点之间的距离为 (operatorname{dist}(A,B)=|A_x-B_x|+|A_y-B_y|)。其中 (A_x)​ 表示点 (A) 的横坐标，其余类似。

输入格式

第一行包含两个整数 (n) 和 (m)，在刚开始时，Ayu 已经知道有 (n) 个点可能埋着天使玩偶， 接下来 Ayu 要进行 (m) 次操作

接下来 (n) 行，每行两个非负整数 ((x_i,y_i))，表示初始 (n) 个点的坐标。

再接下来 (m) 行，每行三个非负整数 (t,x_i,y_i)​。

• 如果 (t=1)，则表示 Ayu 又回忆起了一个可能埋着玩偶的点 ((x_i,y_i))。
• 如果 (t=2)，则表示 Ayu 询问如果她在点 ((x_i,y_i))，那么在已经回忆出来的点里，离她近的那个点有多远

输出格式

对于每个 (t=2) 的询问，在单独的一行内输出该询问的结果。

输入输出样例

输入 #1

2 3 
1 1 
2 3 
2 1 2 
1 3 3 
2 4 2

输出 #1

1 
2

数据规模与约定

对于 (100\%) 的数据 保证 (1≤n,m≤3×10^5，0≤x_i,y_i≤10^6)。

思路分析

一开始是真没想到和 (CDQ) 分治能有什么关系

• 题目中已经给出了距离公式，即 (operatorname{dist}(A,B)=|A_x-B_x|+|A_y-B_y|)，绝对值很麻烦，所以我们为了方便处理，先只算位于一个点左下方的点的距离，这时候就可以去掉绝对值了，式子就成了 ((A_x+A_y)-(B_x+B_y))，其中 (A_x+A_y) 是确定的，所以我们只需求出 (B_x+B_y) 的最大值
• 然后你会神奇地发现，这时候你需要维护三个关系——出现时间(因为离线处理)，x值，y值(保证在左下角)，这不就成了三维偏序吗？就可以用 (CDQ) 分治做了，只不过树状数组里维护的是最大值而不是前缀和
• 对于不在左下角的点，我们完全可以讲网格进行翻转，把其他角转成左下角
• 另外洛谷上的时间限制卡得很紧，分治时用快排是过不去的，需要改成归并排序

(Code)

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 300005
#define M 1000005
#define R register
using namespace std;
inline int read(){
	int x = 0,f = 1;
	char ch = getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n,m,mx,my,c[M];
struct node{
	int id,x,y,key,opt;//key记录答案，opt记录是用来更新的还是查询的
}a[M],p[M],t[M];//p是用于进行翻转的，a是用于更新答案的,t是用于归并排序的
inline bool cmp(node aa,node bb){return aa.x==bb.x ? aa.y<bb.y : aa.x<bb.x;}//第一维其实不需要再排序了，只需要排序第二维就行
void update(int x,int y){
	for(;x <= my;x += x&(-x))c[x] = max(c[x],y);
}
int query(int x){
	int res = 0;
	for(;x;x -= x&(-x))res = max(res,c[x]);
	return res;
}
void clear(int x){
	for(;x<=my;x += x&(-x)){
		if(!c[x])break;
		c[x] = 0;
	}
}
void CDQ(int l,int r){
	if(l==r)return;
	int mid = (l+r)>>1;
	CDQ(l,mid),CDQ(mid+1,r);
	int i = l,j = mid+1;
	while(j<=r){
		while(i<=mid&&a[i].x <= a[j].x){
			if(a[i].opt==1)update(a[i].y,a[i].x+a[i].y);//树状数组更新x+y的值
			i++;
		}
		if(a[j].opt == 0){
			int tmp = query(a[j].y);
			if(tmp) p[a[j].id].key=min(p[a[j].id].key,a[j].x+a[j].y-tmp);
		}
		j++;
	}
	for(R int k = l;k < i;k++)if(a[k].opt==1)clear(a[k].y);//记得清空
	i = l,j = mid+1;//归并排序
	int k = l-1;
	while(j<=r){
		while(i<=mid&&cmp(a[i],a[j]))t[++k] = a[i++];
		t[++k] = a[j++];
	}
	while(j<=r)t[++k] = a[j++];
	while(i<=mid)t[++k] = a[i++];
	for(R int i = l;i <= r;i++)a[i] = t[i];
}
void Init(){
	for(R int i = 1;i <= n;i++)a[i] = p[i];
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(R int i = 1;i <= n;i++){
		int x=read()+1,y=read()+1;
		mx=max(mx,x),my=max(my,y);
		p[i]=node{i,x,y,x+y,1};
	}
	while(m--) {
		int op=read(),x=read()+1,y=read()+1;
		mx=max(mx,x),my=max(my,y);
		if(op==1) p[++n]=node{n,x,y,x+y,1};
		else p[++n]=node{n,x,y,inf,0};
	}
	Init();
	CDQ(1,n);
	for(R int i = 1;i <= n;i++) p[i].x=mx-p[i].x+1;//翻转操作
	Init();
	CDQ(1,n);
	for(R int i = 1;i <= n;i++) p[i].y=my-p[i].y+1;
	Init();
	CDQ(1,n);
	for(R int i = 1;i <= n;i++) p[i].x=mx-p[i].x+1;
	Init();
	CDQ(1,n);
	for(R int i = 1;i <= n;i++) if(p[i].opt==0) printf("%d
",p[i].key);
	return 0;
}