62. 不同路径
一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。
问总共有多少条不同的路径？
例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？
示例 1:
1 输入: m = 3, n = 2 2 输出: 3 3 解释: 4 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。 5 1. 向右 -> 向右 -> 向下 6 2. 向右 -> 向下 -> 向右 7 3. 向下 -> 向右 -> 向右
示例 2:
输入: m = 7, n = 3
输出: 28
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9
思路一：最常规的动态规划
动态规划，利用了一个m*n大小的矩阵
动态规划转态转移方程， dp[i][j] = d[i][j-1] + dp[i-1][j];
1 class Solution { 2 public int uniquePaths(int m, int n) { 3 // 动态规划 4 int[][] dp = new int[m][n]; 5 for(int i = 0; i < m; i++){ // 第一列都为1 6 dp[i][0] = 1; 7 } 8 for(int j = 0; j < n; j++){ // 第一行都为1 9 dp[0][j] = 1; 10 } 11 for(int i = 1; i < m; i++){ 12 for(int j = 1; j < n; j++){ 13 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; 14 } 15 } 16 return dp[m-1][n-1]; 17 } 18 }
leetcode 执行用时：0 ms > 100.00%, 内存消耗：35.9 MB > 5.11%
复杂度分析：
时间复杂度：需要遍历整个dp数组，所以是O(m*n)
空间复杂度：需要一个O(m*n)的矩阵，所以空间复杂度O(m*n)
思路二：利用了一个(m+1)*(n+1)大小的矩阵来简化初始化步骤
动态规划转态转移方程， dp[i][j] = d[i][j-1] + dp[i-1][j];
1 class Solution { 2 public int uniquePaths(int m, int n) { 3 // 动态规划 4 int[][] dp = new int[m+1][n+1]; 5 dp[0][0] = 1; 6 dp[0][1] = 1; 7 for(int i = 1; i <= m; i++){ 8 for(int j = 1; j <= n; j++){ 9 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]; 10 } 11 } 12 return dp[m][n]; 13 } 14 }
leetcode 执行用时：0 ms > 100.00%, 内存消耗：35.9 MB > 6.81%
复杂度分析：
时间复杂度：需要遍历整个dp数组，所以是O(m*n)
空间复杂度：需要一个O((m+1)*(n+1))的矩阵，所以空间复杂度O((m+1)*(n+1))
思路三：利用一维矩阵实现动态规划
其实每行的dp[i][j]都只和上一行的dp[i-1][j]和左边的那个dp[i][j-1]两个元素有关，所以我们采用一维矩阵，矩阵大小为列的大小，即n , 每次求出一行的dp[j], 仔细想想，其实变成一维矩阵后，dp[j] = dp[j-1] + dp[j];
而dp[j-1]刚好在dp[j]之前就更新过了，而dp[j]在这个等式赋值之前也刚好是上一层的dp[i-1][j], 所以完美的使用一维矩阵降低了空间复杂度
1 class Solution { 2 public int uniquePaths(int m, int n) { 3 // 动态规划 4 int[] dp = new int[n]; 5 for(int j = 0; j < n; j++){ // 第一行都为1 6 dp[j] = 1; 7 } 8 for(int i = 1; i < m; i++){ 9 for(int j = 0; j < n; j++){ 10 if(j == 0){ 11 dp[j] = 1; 12 }else{ 13 dp[j] = dp[j-1] + dp[j]; 14 } 15 } 16 } 17 return dp[n-1]; 18 } 19 }
复杂度分析：
时间复杂度：需要把dp[]遍历 m遍， 所以时间复杂度为O(n*m)
空间复杂度：需要一个O(n)的矩阵，所以空间复杂度On)