leetcode hot 100-279. 完全平方数

279. 完全平方数

题目描述

给定正整数 n，找到若干个完全平方数（比如 1, 4, 9, 16, ...）使得它们的和等于 n。你需要让组成和的完全平方数的个数最少。

示例 1:

输入: n = 12
输出: 3 
解释: 12 = 4 + 4 + 4.

示例 2:

输入: n = 13
输出: 2
解释: 13 = 4 + 9.

思路一：暴力 dfs （时间超时）

先给n开平方，确定上界，假定 根号n等于k

递归，从1-k中选出多个值，每个值可选可不选，而且还能重复选，记录选中的次数

当前和如果刚好等于n, 则更新cnt

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        if(n <= 0){
            return 0;
        }

        // 先给n开平方，确定上界，假定 根号n等于k
        int sqrt = (int)Math.sqrt(n);
        traceBack(n, 0, sqrt, 0);
        return cnt;
    }

    public int cnt = 1 << 30;

    // 递归，从1-k中选出多个值，每个值可选可不选，而且还能重复选，记录选中的次数
    public void traceBack(int n, int nowSum, int index, int count){
        // 越界，或者如果大于n, 直接返回
        if(index <= 0 || n < nowSum){
            return;
        }
        // 边界如果刚好等于n, 则更新cnt
        if(n == nowSum){
            cnt = Math.min(cnt, count);
        }

        // 对于每个数可选也不可选
        // 选
        if(nowSum + index * index <= n){
            traceBack(n, nowSum + index * index, index, count + 1);
        }

        // 不选
        traceBack(n, nowSum, index-1, count);
    }
}

 通过了287个测试用例，然后就超时了

复杂度分析：

时间复杂度：对小于√n 的所有数都进行枚举，而且每个数还不止枚举一遍，所以这个复杂度就不太好算了，我觉得是 2ⁿ√n

空间复杂度：递归栈的深度，我觉得是√n

思路二：动态规划

参考：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/hua-jie-suan-fa-279-wan-quan-ping-fang-shu-by-guan/

dp[i]表示组成i的最少完全平方的个数

i 和 (i - j * j)的最终结果就相差一个完全平方数j*j, 所以dp[i] 和 dp[i-j*j]就相差1

dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j*j] + 1); dp[0] = 0;

边界值dp[i] = i, 因为组成i的最少完全平方的个数最大为i, 即全是由1组成的

class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        if(n <= 0){
            return 0;
        }

        int[] dp = new int[n+1];
        dp[0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            dp[i] = i;
            for(int j = 0; i - j*j >= 0; j++){
                dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i - j*j] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

leetcode 执行用时：42 ms > 64.61%, 内存消耗：37.5 MB > 94.62%

复杂度分析：

时间复杂度：O(n√n). 两个for循环，外层循环的循环次数是n, 内层循环的循环次数最大为√n, 所以总的时间复杂度为O(n√n)

空间复杂度：O(n). 需要一个大小为 (n+1)的数组，所以空间复杂度为O(n)

思路三：完全背包

 思路参考：https://leetcode-cn.com/problems/perfect-squares/solution/yi-ge-wan-quan-bei-bao-wen-ti-by-wtffqbpl/