【JZOJ4893】【NOIP2016提高A组集训第15场11.14】过河

题目描述

数据范围

解法

由于同一个点，同一个圆盘最多只会走一次。
把(i,j)当作一个点，表示第i个点，放第i个圆盘。
那么就可以使用最短路。
时间复杂度为O(n4∗k)。
事实上存在冗余圆盘，一个相对某个圆盘又贵又小的圆盘即是冗余圆盘。

---

给圆盘排序，那么令(i,j)只给(k,l)连一条边使得l最小，(i,j)给(i,j+1)连一条边。
那么任意一条原图中的边就可以分解为上述两类边。
那么边数就降到n3。
spfa的时间复杂度为O(n3∗k)。
如果使用dijstra的时间复杂度为O(n3∗logn)。

代码

Const
        maxn=257;
Type
        longint=cardinal;
Var
        t,n,m,w,i,j,k,l:cardinal;
        dis:array[1..maxn,1..maxn] of longint;
        bz:array[1..maxn,1..maxn] of boolean;
        a:array[1..maxn,0..1] of longint;
        b:array[0..maxn,0..1] of longint;
        c:array[0..maxn*maxn*maxn,0..1] of word;
        ban:array[1..maxn] of boolean;
        d:array[0..maxn] of longint;
        head,tail:longint;
        ans:longint;
        path:array[1..maxn,1..maxn,1..maxn] of word;
        fi:array[1..maxn,1..maxn] of longint;
        la:array[1..maxn*maxn*maxn] of longint;
        ne:array[1..maxn*maxn*maxn] of longint;
        cnt,tot:longint;
        x,y,z:longint;
Function min(a,b:longint):longint;
begin
        if (a>b) then exit(b);
        exit(a);
end;
Procedure add_line(a,b,c:longint);
begin
        inc(tot);
        ne[tot]:=fi[a][b];
        la[tot]:=c;
        fi[a][b]:=tot;
end;
Procedure add(x,y,z:longint);
begin
        if (dis[x][y]>z) then
        begin
                dis[x][y]:=z;
                if (z<ans) and (bz[x][y]=false) then
                begin
                        inc(tail);
                        c[tail][0]:=x;
                        c[tail][1]:=y;
                        bz[x][y]:=true;
                        if (head<tail) and (dis[c[head+1][0]][c[head+1][1]]>dis[c[tail][0]][c[tail][1]]) then
                        begin
                                c[0]:=c[tail];
                                c[tail]:=c[head+1];
                                c[head+1]:=c[0];
                        end;
                end;
        end;
end;
Procedure qsort(l,r:longint);
var
        i,j,k,mid,mm,tmp:longint;
begin
        i:=l;
        j:=r;
        mid:=b[(l+r) div 2][0];
        repeat
                while (b[i][0]<mid) do inc(i);
                while (b[j][0]>mid) do dec(j);
                if (i<=j) then
                begin
                        b[0]:=b[i];
                        b[i]:=b[j];
                        b[j]:=b[0];
                        dec(j);
                        inc(i);
                end;
        until i>j;
        if (i<r) then qsort(i,r);
        if (l<j) then qsort(l,j);
end;
Function judge(i,j,k,l:longint):boolean;
begin
        exit(int64(a[i][0]-a[j][0])*(a[i][0]-a[j][0])+(a[i][1]-a[j][1])*(a[i][1]-a[j][1])<=int64(b[l][0]+b[k][0])*(b[l][0]+b[k][0]));
end;
Procedure extreme;
begin
        qsort(1,m);
        for i:=1 to n do
                for j:=1 to n do
                begin
                        l:=1;
                        for k:=m downto 1 do
                        begin
                                while (l<=m) do
                                begin
                                        if (judge(i,j,k,l)) then
                                        begin
                                                path[i][k][j]:=l;
                                                break;
                                        end
                                        else inc(l);
                                end;
                                if (path[i][k][j]>0) then add_Line(i,k,j);
                        end;
                end;
end;
Procedure spfa;
var
        i,j,k:cardinal;
Begin
        while (head<tail) do
        begin
                inc(head);
                if (c[head][1]<m) then
                begin
                        add(c[head][0],c[head][1]+1,dis[c[head][0]][c[head][1]]+b[c[head][1]+1][1]-b[c[head][1]][1]);
                end;
                k:=fi[c[head][0]][c[head][1]];
                while (k>0) do
                begin
                        i:=la[k];
                        j:=path[c[head][0]][c[head][1]][i];
                        add(i,j,dis[c[head][0]][c[head][1]]+b[j][1]);
                        k:=ne[k];
                end;
                if (a[c[head][0]][1]+b[c[head][1]][0]>=w) then ans:=min(dis[c[head][0]][c[head][1]],ans);
                bz[c[head][0]][c[head][1]]:=false;
        end;
End;
Procedure prepare;
begin
        readlN(n,m,w);
        for i:=1 to n do
        begin
                readln(a[i][0],a[i][1]);
        end;
        for i:=1 to m do
        begin
                readln(b[i][0],b[i][1]);
        end;
        fillchar(ban,sizeof(ban),0);
        for i:=1 to m do for j:=i+1 to m do
                if (b[i][0]>=b[j][0]) and (b[i][1]<=b[j][1]) then ban[j]:=true
                else if (b[i][0]<=b[j][0]) and (b[i][1]>=b[j][1]) then ban[i]:=true;
        d[0]:=0;
        for i:=1 to m do if (ban[i]=false) then
        begin
                inc(d[0]);
                d[d[0]]:=i;
        end;
        for i:=1 to d[0] do b[i]:=b[d[i]];
        m:=d[0];
        fillchar(dis,sizeof(dis),127);
        fillchar(path,sizeof(path),0);
        fillchar(fi,sizeof(fi),0);
        tot:=0;
        head:=0;
        tail:=0;
        ans:=maxlongint;
        extreme;
        for i:=1 to n do
                for j:=1 to m do
                begin
                        if (b[j][0]>=a[i][1]) then
                        begin
                                add(i,j,b[j][1]);
                                break;
                        end;
                end;
end;
Procedure getans;
begin
        if (ans<2000000000) then writeln(ans)
        else writeln('impossible');
end;
Begin
        assign(input,'river.in');reset(input);
        assign(output,'river.out');rewrite(output);
        readln(t);
        for t:=1 to t do
        begin
                prepare;
                spfa;
                getans;
        end;
        //writeln(cnt);
        close(output);close(input);
End.

启发

去除冗余

差分

本题中：原图共有n4，考虑到如果(i,j)可以到达(k,l)，那么(i,j)也一定可以到达(k,l’)，其中l’的半径比l大。如果存在这样的关系：

并且dis[x][z]=dis[y][z]+dis[x][y]。
那么(x,z)这条边显然可以省略。
当大量存在这样的边时，如本题，就可以优化边数。

spfa优化

1.SFL优化

尽量维持决策遍历队列的单调性，这样可以使得以更高的频率用更优的点更新。
具体而言，如果dis[b[head+1]]>dis[b[tail]]，则swap(b[head+1],b[tail])。

2.单点最短路优化

由于spfa自带求单源到所有点的最短路，如果我们只需要求单源到单汇的最短路，那么显然如果当前节点比目标节点更劣就直接跳过。