【JZOJ4882】【NOIP2016提高A组集训第12场11.10】多段线性函数

题目描述

数据范围

解法

三分找出极值，两个二分找出极值的范围。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const char* fin="linear.in";
const char* fout="linear.out";
const ll inf=0x7fffffff;
const ll maxn=100007,maxa=1000000007;
ll n,m,i,j,k,l,r,mid,mmid,tmp,tmd;
ll a[maxn][2];
ll count(ll v){
    ll i,j,k=0;
    for (i=1;i<=n;i++){
        if (v>a[i][1]) k+=v-a[i][1];
        else if (v<a[i][0]) k+=a[i][0]-v;
    }
    return k;
}
int main(){
    freopen(fin,"r",stdin);
    freopen(fout,"w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i][0],&a[i][1]);
    l=0;
    r=maxa-1;
    while (l<r){
        mid=(l+r)/2;
        mmid=(mid+r)/2;
        if (mid==mmid){
            break;
        }
        tmp=count(mid);
        tmd=count(mmid);
        if (tmp<tmd) r=mmid;
        else if (tmp>tmd) l=mid;
        else{
            l=mid;
            r=mmid;
        }
    }
    k=l;
    for (;l<=r;l++){
        if (count(l)<count(k)) k=l;
    }
    tmp=count(k);
    l=0;
    r=k;
    while (l<r){
        mid=(l+r)/2;
        if (count(mid)>tmp) l=mid+1;
        else r=mid;
    }
    printf("%lld ",l);
    l=k;
    r=maxa-1;
    while (l<r){
        mid=(l+r+1)/2;
        if (count(mid)>tmp) r=mid-1;
        else l=mid;
    }
    printf("%lld
",l);
    return 0;
}

启发

三分时当l,r距离小于3时，就可以break了，随后，暴力求解。

---

比赛中我运用了演绎很快解决了题目。
即猜测f(y)具有三分性。
事实上这道题是可以分析出三分的：
首先预设O(maxa)的费用，将问题转化为某一个f(y)的值。
考虑答案贡献的来源，对于每一个xi，都有|xi-y|这样的贡献。
事实上随着y的增大，这些贡献会先减少，减少到0后增多。
设对于y到y+1的增量为delta，那么delta就是增量和-减量和。
显然，随着y的增大，增量会不断增加，减量会不断减少。
显然delta<0时，f(y)呈下降趋势；
delta=0时，f(y)呈平台；
delta>0时，f(y)呈上升趋势。
总体呈抛物平台状，满足三分性。

---

引入第二种类型的优化：单调优化；
具体表现为二分、三分等。
显然可以将预设的费用降到O(logmaxa)，再加上O(n)求答案。
总的时间复杂度为O(nlogmaxa)。