【JZOJ4814】【NOIP2016提高A组五校联考2】tree

题目描述

给一棵n 个结点的有根树，结点由1 到n 标号，根结点的标号为1。每个结点上有一个物品，第i 个结点上的物品价值为vi。
你需要从所有结点中选出若干个结点，使得对于任意一个被选中的结点，其到根的路径上所有的点都被选中，并且选中结点的个数不能超过给定的上限lim。在此前提下，你需要最大化选中结点上物品的价值之和。
求这个最大的价值之和。

输入

第一行为两个整数n; lim
接下来n 行，第i 行包含一个整数vi，表示结点i 上物品的价值。
接下来n- 1 行，每行包含两个整数u; v, 描述一条连接u; v 结点的树边。

输出

输出一行答案。

样例输入

6 4
-5
4
-6
6
9
6
3 2
3 1
2 4
2 5
1 6

样例输出

2

数据范围

对于前20% 的数据，1<=n; lim<=10
对于前60% 的数据，1<=n; lim<=100
对于100% 的数据，1<=n; lim<=3000; |vi| <=10^5 数据有梯度，保证给出的是合法的树。

解法

把条件转化，设原树有根，如果一个结点不选，那么以其为根的子树都不能选。
显然我们可以把树转化成dfs序列。
设f[i][j]为前i个数中，选了j个数的最大答案。
f[i][j]=max{f[i][j],f[i−1][j−1],f[low[i]][j−1]}
时间复杂度为O(n2)。

代码

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ln(x,y) int(log(x)/log(y))
#define sqr(x) ((x)*(x))
using namespace std;
const char* fin="tree.in";
const char* fout="tree.out";
const int inf=0x7fffffff;
const int maxn=3007,maxm=maxn*2,maxa=100000;
int n,m,i,j,k,tot,ans=0;
int a[maxn],fi[maxn],ne[maxm],la[maxm];
int f[maxn][maxn],de[maxn];
int c[maxn],low[maxn],dfn[maxn];
void add_line(int a,int b){
    tot++;
    ne[tot]=fi[a];
    la[tot]=b;
    fi[a]=tot;
}
void dfs(int v,int from){
    int i,j,k;
    c[++c[0]]=v;
    dfn[v]=c[0];
    for (k=fi[v];k;k=ne[k])
        if (la[k]!=from) {
            dfs(la[k],v);
        }
    low[dfn[v]]=c[0];
}
int main(){
    freopen(fin,"r",stdin);
    freopen(fout,"w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(f,128,sizeof(f));
    for (i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for (i=1;i<n;i++){
        scanf("%d%d",&j,&k);
        add_line(j,k);
        add_line(k,j);
    }
    dfs(1,0);
    f[0][0]=0;
    for (i=0;i<n;i++){
        for (j=0;j<m;j++){
            if (f[i][j]<-2000000000) continue;
            f[i+1][j+1]=max(f[i+1][j+1],f[i][j]+a[c[i+1]]);
            f[low[i+1]][j]=max(f[low[i+1]][j],f[i][j]);
        }
    }
    for (i=1;i<=n;i++) for (j=0;j<=m;j++) ans=max(ans,f[i][j]);
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

启发

尝试把条件以另一个角度看待，那么新的方法就会出现。
当要处理子树问题时，不妨把原树转化为dfs序列。