Miller-Rabin算法
欧拉定理：a,p是正整数，$ gcd(a,p)=1 $, 则 $a^{varphi(p)} equiv 1 (mod p) $
费马小定理： 假如a是正整数、p是质数，且 $ gcd(a,p)=1 $，那么 $ a^{(p-1)} equiv 1（mod p）$, 即： $ a^p equiv p（mod p）$。
对于任意素数 $p$，以及对于模p的剩余类环${1,2,...,p-1} $中的任意数 $x$，都满足$x^p equiv x(mod p) $。换句话说，$exists x$ 使得 $x^p equiv x(mod p) $不成立，$p$就不是素数。
因此我们可以用这个小小的技巧来排除大量的合数。
但是：p是素数是x^p=x(mod p)的充分条件，而非必要条件。
Carmichael数：存在一类极端的合数$p$，使得所有满足$gcd(x,p)=1$的$x$，都满足$x^p equiv x(mod p) $，例如561,1105,1729。
由于这类数的存在，使我们用费马小定理完全无法正确断定一个数是不是素数。
二次探测定理: $ 1^2 mod p $和 $ (-1)^2 mod p $总是得到$ 1 $，称这两个数为$ 1 $的“平凡平方根”。当$ p $是素数且$ p>2 $时，不存在$ 1 mod p $的“非完全平方根”。
证明：假设$ x,x<p$是$ 1 mod p $的平方根，于是有
$$ x^2 equiv 1 (mod p) $$
$$ (x+1)(x-1) equiv 0 (mod p) $$
推出：$ p | (x+1)(x-1) $ 即 $ p | (x+1) 或 p | (x-1) $ 即 $ x=p-1 或 x=1 $ 其中 $ p-1 equiv -1 (mod p) $
证毕。
引理：
假设一个奇素数$n, n>2$ ,$n-1$ 是一个偶数，可以表示为$2^s*d$的形势，$s$,$d$都是正整数且$d$是奇数。对任意在${(Z/nZ)}^*$范围内的$a$ 和 $[0,s)$范围内的$r$，必满足以下形式的一种：
$$ a^d equiv 1 (mod n) $$
$$ a^{2^r d} equiv -1 (mod n) $$
证明：
由于费马小定理：$ a^{n-1} equiv 1 (mod n ) $
对$ a^{n-1} $不断取平方根，由二次探测定理，最后会得到$1$或$-1$。
如果得到$-1$,则$2式$成立；如果从未得到$-1$,且不能继续开平方，则$1式$成立。
证毕。
Miller-Rabin素数测试基于上述定理的逆否：如果我们找的到一个$a$,使得对于$[0,s)$范围内的$r$,
$$ a^d equiv 1 (mod n) $$
$$ a^{2^r d} equiv -1 (mod n) $$
均不满足，则$n$不是素数，这样$a$称为$n$是合数的一个凭证，否则，$a$可能是$n$是素数的强伪证。
模板：
考虑到爆 longlong，添加了快速加的操作。
#include <ctime> #include <cstdio> #include <cstdlib> using namespace std; typedef long long LL; LL ksc(LL a,LL n,LL mod){ LL ret=0; for(;n;n>>=1){ if(n&1)(ret+=a)%=mod; (a<<=1)%=mod; } return ret; } LL ksm(LL a,LL n,LL mod){ LL ret = 1; for(;n;n>>=1){ if(n&1)ret=ksc(ret,a,mod); a=ksc(a,a,mod); } return ret; } int millerRabin(LL n){ if(n<2 || (n!=2 && !(n&1)))return 0; LL d=n-1;for(;!(d&1);d>>=1); for(int i=0;i<20;++i){ LL a=rand()%(n-1)+1; LL t=d,m=ksm(a,d,n); for(;t!=n-1 && m!=1 && m!=n-1;m=ksc(m,m,n),t<<=1); if(m!=n-1 && !(t&1)) return 0; } return 1; } int main(){ srand(time(0)); int T;scanf("%d",&T); for(LL n;T--;){ scanf("%lld", &n); puts(millerRabin(n)?"Yes":"No"); } return 0; }
注释：
我曾想把 millerRabin() 函数中的$ if(m!=n-1 && !(t&1)) return 0; $中的$ !(t&1) $换成$ m!=1 $, 但事实上是不行的，如果$ x $不为$ 1 $, 可是$ x^2 equiv 1 (mod 1) $,这种情况判为合数。
例题：POJ1811
引用：