首先，我们建立 群 的概念。
非空集合 G 上的二元运算 ∘ : G × G → G，如果，满足：
结合律：对于 任意 a, b, c ∈ G，有 (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c)；
则称 (G, ∘) 为 半群，如果，再满足：
有幺元：存在 e ∈ G ，对于 任意 a ∈ G 都有 e ∘ a = a ∘ e = a ①；（e 称为幺元）
则称 (G, ∘) 为 幺半群，如果，再满足：
可逆：对于 任意 a ∈ G 存在 b ∈ G 使得 a ∘ b = b ∘ a = e；（b 称为 a 的逆元，并记为 a⁻¹）
则称 (G, ∘) 为 群，如果，再满足：
交换律：对于 任意 a, b ∈ G，有 a ∘ b = b ∘ a；
则称 (G, ∘) 为 Abel 群。
其次，我们建立 环 的概念。
非空集合 R 上的加 两个二元运算 +, ⋅ : G × G → G（分别称为 加法 和 乘法），如果满足：
(R, +) 是 Abel 群，将 其中的 幺元 e 改称为 零元 记为 0，逆元 a⁻¹ 改称为 负元，记为 -a；
(R, ⋅) 是 半群；
乘法对加法具有分配律：对于 任意 a, b, c ∈ R，有 (a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c，c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b；
则称 (R, +, ⋅) 为环，如果再满足：
乘法交换律：对于 任意 a, b ∈ G，有 a⋅b = b⋅a；
则称 (R, +, ⋅) 为交换幺环。
◆ 可以证明 群中 幺元唯一：
设 e' 是 (G, ∘) 的另外一个幺元，则根据幺元的定义，有，
e = ee' = e'
故 幺元 e 唯一。
这样就说明 环中 零元 0 唯一，幺环中 幺元 1 唯一。
◆ 最简单的环 只含 零元 0 ，称为 零环，含有一个元素的 环 必然是 零环。
◆ 对于 环 (R, +, ⋅) 中的元素 a ∈ R，如果存在 b ∈ R, b ≠ 0，使得：
a⋅b = b⋅a = 0
则称 a 是 零因子。
显然 0 是 零因子。
◆ 如果 环 满足：
不是零环；
只有 0 一个零因子；
交换幺环；
则称为 整环。