初等数论-Base-2(扩展欧几里得算法，同余，线性同余方程，(附：裴蜀定理的证明))

我们接着上面的欧几里得算法说

扩展欧几里得算法

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x，y，使它们满足贝祖等式(^①)： ax+by = gcd(a, b) =d（解一定存在，根据数论中的相关定理）。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

①：裴蜀定理:
裴蜀定理((Bezouts identity))是代数几何中一个定理，其内容是若设a,b是整数，则存在整数x,y，使得ax+by=gcd（a,b），(a,b)代表最大公因数，则设a,b是不全为零的整数，则存在整数x,y，使得ax+by=(a，b)，这里我们不做过多讨论（其实Base-2部分就有记录）。

附上美照：

“对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然
存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。”我们可以这么描述扩展欧几里得算法

证明

(gcd(a,b)=gcd(b,a ext %b),)

令(ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a space modspace b)=c,)
而

[bx'+(aspace modspace b)y'=ax+by ]

又因为((aspace modspace b)=a-lfloorfrac ab floor b)

得$$bx'+ay'-lfloorfrac ab floor by'=ax+by$$

于是我们可以得到递归过程中层与层之间传递的式子：

[x=y',y=(x'-lfloorfrac ab floor y'); ]

int exgcd(int &x,int &y,int a,int b){
    if (!b) return a;
    int gcd=exgcd(x,y,b,a%b);
    int exx=y,exy=x-(a/b)*y;
    x=exx,y=exy;return gcd;
}

代码现场手敲的，可能会错qwq

用处

扩欧的用处十分广泛，一般用于求线性同余方程中，用于求逆元过程中可以做到比快速幂更快······

计算(ax+by=c)的一般解

(ax+by=c)有无穷组解，扩欧计算出来的是其中的一个，我们称之为特解((x_0,y_0))，通过求出的特解，我们假设按大小排序，特解((x_0,y_0))的下一组解为((x_0+c,y_0+d))，那么一定有：
(acdot (x_0+c)+bcdot (y_0+d)=c)

(ac=-bd)

即$$frac cd=-frac ba=-frac{frac{b}{gcd(a,b)}}{frac{a}{gcd(a,b)}}$$

所以有对于一般解((x,y))：(x=x_0+kcdot frac{b}{gcd(a,b)};y=y_0-kcdot frac{a}{gcd(a,b)} ,kin Z)

同余

当且仅当(m|(a-b))时，我们称(a)与(b)对模(m)同余，记作(aequiv b(modspace m)) (这里总视(m>0))

性质

①(aequiv a(modspace m))

②对称性：若(aequiv b(mod space m),)则$ bequiv a(modspace m)$

③传递性：若(aequiv b (mod space m),bequiv c (mod space m))则(aequiv c(mod space m))

④同加同乘性：若(aequiv b(modspace m),cequiv d (mod space m))则有
(apm c(modspace m)equiv bpm d(mod space m),)
(ac(modspace m)equiv bd(mod space m))

⑤若(n|m,aequiv b (mod space m))则(aequiv b(modspace n))

完全剩余系

对于一个正整数(n)，如果一个剩余系包含了它所有可能的余数（大多数来讲为(0,1,ldots,n-1)）,那么这个剩余系被称为是模(n)的一个完全剩余系。记作(Z_n)

简化剩余系就是完全剩余系中与(n)互素的数，记作(Z^*_n)

线性同余方程

数论中，线性同余方程是最基本的同余方程，“线性”表示方程的未知数次数是一次.

即形如(axequiv b(modspace n))的方程((n>0))

求解(axequiv b(mod space n))

关于方程(axequiv b(modspace n))，当且仅当(gcd(a,n)|b)时有解。

（因为由方程可以得到：(ax+kn=b),

可以将此视为另一个方程，由裴蜀定理可得，当且仅当(gcd(a,n)|b)时此方程有解）

那么对于上面的方程$ax+kn=b,

(令)d=gcd(a,n)(，则有)d|b$

又因为(d|a,d|n)，令(a_0=frac ad,n_0=frac nd)

有方程(a_0x+n_0k=frac bd)

因为(gcd(a_0,n_0)=1)，这个方程就可以由扩展欧几里得算法来求得

练习:青蛙的约会

题外话：裴蜀定理的证明

设(d=gcd(a,b))，

则有(d|a,d|b)，易得(d|(ax+by))，

故(forall x,yin Z,)有(d|(ax+by))，

则设(s=(ax+by))，使(s)为满足(d|(ax+by))的最小正值，则有(d|s)

令(q=lfloor frac a,s floor,r=aspace modspace s=a-qs,)

(r=a-qax-qby=(1-qx)a+(-qy)b)

可以看出(r)也表示的是(a,b)的线性组合，

又因为(0leq r<s)，(s)又是满足(d|(ax+by))的最小正值，

所以(r=0)，则有(s|a,) 同理(s|b),则(s|d)，

因此可得(d=s)，命题得证。