题意简述
求：
[2sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m(gcd(i,j)-1)=-nm+2sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j)
]
题解
先说一个有点巧妙的变化,等会要用到(下面的k是给出的定值)。
首先有一个简单的结论:
[epsilon(n)=sum_{d|n}mu(d)
]
也可表示为狄利克雷卷积的形式:
[epsilon=mu*1
]
由此得出这个变化:
[egin{align*}
sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m [gcd(i, j)=1]&=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m sum_{d|gcd(i,j)}mu(d)\
&=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m sum_{d|i,d|j}mu(d)\
&=sum_{d=1}^{min(n, m)}mu(d)lfloorfrac{n}{d}
floorlfloorfrac{m}{d}
floor\
end{align*}]
上面的最后一步是将枚举(i,j)转换为枚举其公因数(d)，再由一个数(d)在(1sim n)中的倍数有(lfloorfrac{n}{d} floor)个转化得。
还有一个关于取整函数的性质:
[lfloorlfloorfrac{x}{a}
floor/b
floor=lfloorfrac{x}{ab}
floor
]
所以接下来就可以这样推式子了:
[egin{align*}
sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mgcd(i,j)& =sum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{i=1}^{lfloorfrac{n}{d}
floor}sum_{j=1}^{lfloorfrac{m}{d}
floor}[gcd(i, j)=1]\
&=sum_{d=1}^{min(n,m)}dsum_{k=1}^{min(lfloorfrac{n}{d}
floor, lfloorfrac{m}{d}
floor)}mu(k)lfloorfrac{n}{kd}
floorlfloorfrac{m}{kd}
floor\
end{align*}]
枚举(d)，然后后面依据(lfloorfrac{n}{kd} floorlfloorfrac{m}{kd} floor)的取值，相同取值的区间合并，答案加上相应取值与区间和的乘积，即做一个数论分块，本题就可到此结束。
代码
#include <cstdio>
#include <cctype>
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+10;
int prim[maxn],mu[maxn],s[maxn];
int tot;
bool vis[maxn];
int min(int x,int y) {return x<y?x:y;}
void swap(int &x,int &y) {x^=y^=x^=y;}
void prework(int n)
{
vis[0]=vis[1]=1;
mu[1]=s[1]=1;
for (int i=2;i<=n;i++)
{
if (!vis[i])
prim[++tot]=i,mu[i]=-1;
s[i]=s[i-1]+mu[i];
for (int j=1;j<=tot&&(ll)i*prim[j]<=n;j++)
{
vis[i*prim[j]]=1;
if (i%prim[j]==0)
{
mu[i*prim[j]]=0;
break;
}
mu[i*prim[j]]=-mu[i];
}
}
}
int read()
{
int res=0;
char ch=getchar();
while(!isdigit(ch))
ch=getchar();
while(isdigit(ch))
res=res*10+ch-'0',ch=getchar();
return res;
}
int main()
{
int n=read(),m=read();
ll ans=0;
if (n>m)
swap(n, m);
prework(n);
for (int d=1;d<=n;d++)
{
for (int l=1,r=1;l<=n/d;l=r+1)
{
r=min(n/d/(n/d/l), m/d/(m/d/l));
ans+=(ll)d*(s[r]-s[l-1])*(n/d/l)*(m/d/l);
}
}
printf("%lld
",ans*2-(ll)n*m);
return 0;
}