Exercises
5.1-1
应聘者是随机出现的，如果总是可以决定哪一个应聘者最佳，那么就意味着对任何一种应聘序列，总能知道哪一个最好的，这也就意味着我们能过比较任意的两个元素，必然也就知道了应聘者的全部次序。
5.1-2
Randome(0,1)只能产生0或者1，恰好二进制只有0或者1，故可以利用Random(0,1)产生Random(a,b)的每一位，计算b的位数，如果生成的数不在[a,b]范围内，就重新生成。
5.1-3
调用两次BASED-RANDOM，调用两次后，都产生1的概率是p2，都产生0的概率是(1-p)2，而产生一个0，一个1的概率是2p(1-p)
[E[x] = sumlimits_{i = 1}^n {2p(1 - p){{(1 - 2p(1 - p))}^{i - 1}}} = frac{1}{{2p(1 - p)}}]（几何概率公式）
5.2-1
第一个就是最佳候选人的时候只需要雇佣一次，所以是1/n。只有按照最佳递增的次序出现的时候，才需要雇佣n次，而共有n!中序列，所以应是1/n!
5.2-2
第一次雇佣的一定是第一个应聘者，第一个应聘者为的rank值为i的概率是1/n，那么最优的应聘者应该是比第一个rank值大的应聘者中第一个出现，概率为1/(n-i)。所以正好雇佣两次的概率应该为：[p = sumlimits_{i = 1}^n {frac{1}{n} cdot frac{1}{{n - i}}} = frac{1}{n} cdot ln (n - 1)]
5.2-3
[E[X] = E[sumlimits_{i = 1}^n {{x_i}]} = sumlimits_{i = 1}^n {E[{x_i}]} = sumlimits_{i = 1}^n {(frac{1}{6} cdot (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6))} = frac{{7n}}{2}]
5.2-4
帽子核对问题
Xi=1的情况下，表示这个人拿到帽子，每个人拿到帽子的可能性斗士1/n，而E[X]=1/n，共有n个人，所以拿到自己顾客帽子的期望数是1。
5.2-5
定义指示器随机变量Xij，若其为1，则表示(i,j)为A的逆序对，因为A的构成是均匀分布，那么E[Xij]=1/2。所以数学期望为：
[E[X] = sumlimits_{i = 1}^{n - 1} {sumlimits_{j = i + 1}^n {{X_{ij}}} } = sumlimits_{i = 1}^{n - 1} {sumlimits_{j = i + 1}^n {frac{1}{2} = frac{{n(n - 1)}}{4}} } ]
5.3-1
将循环不变式里的第一次循环拿出来即可，循环不变式变为：
在for循环的第i次迭代之前，对于i=2...n，对每个可能的(i-1)排列，字数组A[1...i-1]包含这个这n个元素中的k个元素的序列，并且不重复。一共有n!/(n-k)!中可能的k排列。
初始化条件改为：对每个可能的1排列，字数组A[1..1]包含这个1排列的概率是1/n。
5.3-2
不能实现。
Kelp教授的算法也不能产生一些其他的排列，例如：当n=3的时候，可以产生与原先不同排列的5中排列，而第一遍循环的时候第一个元素可以与第二或第三交换，第二次循环，第二个元素只可以与第三个元素交换。总共只有2种排列。
5.3-3
不能产生均匀排列，因为产生每个排列的概率是不同的，当n=3时，会有27中排列，但是实际上只会有6中排列，因为每个排列概率不同，所以不会产生均匀随机排列。
5.3-4
B[(i+offset) mod n]=A[i]，这是一个循环，显然可以每个元素A[i]出现在B中任何特定位置的概率是1/n。但是却不是均匀随机排列，因为你并不能保证每个位置都被赋值了，会有重复。
5.3-5
[P = frac{{{ m A}_{{n^3}}^n}}{{{{({n^3})}^n}}} = frac{{{n^3}!}}{{({n^3} - n)!{{({n^3})}^n}}}]
5.3-6
增加判断过程，如果生成的优先级与前面有重复，就重新生成一个优先级rank。
5.3-7
RANDOM-SAMPLE(m,n)
if m= =0
return Ø
else S = RANDOM-SAMPLE( m-1 , n-1 )
i=RANDOM( 1 , n ）
if i∈ S
S=S ∪ { n }
else S=S ∪ { i }
return S
Thinking Problems
5-1
a.令Xi表示第i次操作后计数器的增量
[P{ {X_i} = 0} = 1 - frac{1}{{{n_{i + 1}} - {n_i}}}]
[P{ {X_i} = {n_{i + 1}} - {n_i}} = frac{1}{{{n_{i + 1}} - {n_i}}}]
E[Xi]=1
执行n次后，计数器所表示的期望值是：(sumlimits_{i = 1}^n 1 = n)
b.
[D[X] = E[{X^2}] - E{[X]^2}]
所以(D[{X_i}] = {n_{i + 1}} - {n_i} - 1),所以当ni=100i时，计数器所表示的数的方差是99n。
5-2
a.定义一个标志数组，若某元素已经被查看过，则被标记为1，否则为0，另定义count变量，记录标记数组中1的个数，当数目等于n的时候，终止。
b.定义X需要查找的次数，则(E[A] = sumlimits_{i = 1}^infty {i cdot frac{1}{i}} cdot frac{1}{n} cdot {(1 - frac{1}{n})^{i - 1}} = n)（根据几何分布概率公式）。
c.因为有k≥1个下标使得A[i]=x，那么查找到相应元素的概率是k/n，所以显然必须挑选A的下标数目是n/k。
d.设Xi表示第i次检查是个新元素
[E[{X_i}] = sumlimits_{j = 1}^infty {j cdot } {(frac{{i - 1}}{n})^{j - 1}}(frac{{n - i + 1}}{n})]
X=X1+X2+X3+...+Xn-1+Xn=∑E[Xi]
e.平均情况：(E = sumlimits_{i = 1}^n {i cdot frac{1}{n}} = frac{{n + 1}}{2})
最坏情况为：n。
f.平均情况：(E = sumlimits_{i = 1}^{n - k} {i cdot frac{k}{n}{{(frac{{n - k}}{n})}^{i - 1}}} )
最坏情况：n-k。
g.运行时间都是n。
h.k=0时，最坏和期望都是n。
k=1时，最坏是n，期望是(n+1)/2。
k>1时，最坏是n-k，期望是O(n/k)。
i.第二种方法较好，时间复杂度最小，与第三种时间复杂度一样，还不用随机化数组。
（若有错误和不足，欢迎大家积极指正！）