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  • [文化课] 数列不等式专题

    裂项

    $$frac{1}{n+k}=frac{1}{k} (frac{1}{n} - frac{1}{n+k})$$

    $$frac{2n+1}{n^2 (n+1)^2}=frac{1}{n^2} - frac{1}{(n+1)^2}$$

    $$frac{2^n}{(2^n+1)(2^{n+1}+1)}=frac{1}{2^n+1} - frac{1}{2^{n+1}+1}$$

    $$frac{1}{n(n+1)(n+2)}=frac{1}{2}[frac{1}{n(n+1)} - frac{1}{(n+1)(n+2)}]$$

    $$frac{n+2}{n(n+1) cdot 2^{n+1}}=frac{1}{n cdot 2^n} - frac{1}{(n+1) cdot 2^{n+1}}$$

    $$frac{1}{sqrt{n}+sqrt{n+k}}=frac{1}{k}(sqrt{n+k} - sqrt{n})$$

    $$n cdot n!=(n+1)!-n!$$

    $$inom{n}{m-1}=inom{n+1}{m} - inom{n}{m}$$

    $$tan a_n cdot tan a_{n+1}=frac{tan a_{n+1} - tan a_n}{tan(a_{n+1}-a_n)}-1$$


    $(an+b) cdot c^n$既可以错位相减,也可以裂项(待定系数)

    如 $(2n-1) cdot 3^n=((n+1)-2) cdot 3^{n+1} - (n-2) cdot 3^n$


    积分

    $$sum_{i=1}^n i^{-frac{3}{2}} < 1 + int_1^n x^{-frac{3}{2}}  mathrm{d}x = 3-frac{2}{sqrt{n}} < 3$$

    $$sum_{i=1}^n ln{i} > int_1^n ln{x} mathrm{d}x = nln{n} - n + 1 > 2(sqrt{n}-1)^2$$


    sp

    $$inom{n}{k} frac{1}{n^k} = frac{prod_{i=n-k+1}^{n} i}{k! cdot n^k} < frac{1}{k!} < frac{1}{(k-1)k}$$

    $$(1+frac{1}{n})^n = sum_{i=1}^n inom{n}{i} frac{1}{n^i} < 2 + sum_{i=2}^n frac{1}{(k-1)k} = 3 - frac{1}{n} < 3$$

    当然$$lim_{n o +infty}(n+frac{1}{n})^n = e$$

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