【集训】练习题 uria

Description

求有多少组正整数对 ((a, b)) 满足

1. (a + b ≤ n)
2. (a + b | ab)

(n ≤ 10^14)

Solution

这题有点绕啊
设 (gcd(a,b)=d)，(a=a'd)，(b=b'd)
对于第二个式子：((a'+b')d | a'b'd^2)，所以 (a'+b' | a'b'd)
然后因为已经提出来了一个 (d) ， 所以(gcd(a',b')=1) 即 (a'ot b')
所以 (gcd(a'+b',a')=gcd(a'+b',b')=gcd(a',b')=1)（模拟exgcd的过程）
意思就是 (a') 和 (b') 均不包含 (a'+b') 的任意因数，所以 (a'b') 也肯定不整除 (a'+b')
所以 (a'+b' | d)
那么有了这个时候，对于第一个式子：((a'+b')d leq n)，而 (a'+b' | d) ，所以 (a'+b' leq sqrt n)
然后我们设 (t=a'+b')，从 (2) 到 (sqrt n) 枚举，每次算 (t) 固定后每个 (t) 的贡献

1. 固定了 (t) 后，就要找 (d) 有多少种取值
   设 (d=mt)，(d) 有多少种取值就是 (m) 有多少种取值
   看第一个式子，代进去，(t^2mleq n)，所以只要 (mleq frac{n}{t^2})，就都可以
   所以 (m) 共有 (lfloor frac{n}{t^2} floor) 种取值，所以 (d) 有 (lfloor frac{n}{t^2} floor) 种取值
2. 再看固定了 (t) 后，把 (t) 分解成互质的 (a') 和 (b') 有多少种方案
   我们要求有多少 (a') 和 (b') ，(a'+b'=t)，(a'ot b')
   因为(gcd(a',b')=1)，所以(gcd(a',t-a')=1)，根据更相减损术，(gcd(a',t)=1)，(a')有多少取值，分解 (a') 和 (b') 就有多少方案
   而 (a') 的取值方案就是 (phi (t))了

所以最后的答案就是(ans=sum_{i=2}^{sqrt n}lfloor frac{n}{i^2} floorphi (i))
预处理后枚举求和

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define db double
#define ld long double
const int MAXN=10000000+10;
int cnt,vis[MAXN],prime[MAXN];
ll phi[MAXN],n,res;
template<typename T> inline void read(T &x)
{
	T data=0,w=1;
	char ch=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
	if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')data=((T)data<<3)+((T)data<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
	x=data*w;
}
template<typename T> inline void write(T x,char c='')
{
	if(x<0)putchar('-'),x=-x;
	if(x>9)write(x/10);
	putchar(x%10+'0');
	if(c!='')putchar(c);
}
template<typename T> inline void chkmin(T &x,T y){x=(y<x?y:x);}
template<typename T> inline void chkmax(T &x,T y){x=(y>x?y:x);}
template<typename T> inline T min(T x,T y){return x<y?x:y;}
template<typename T> inline T max(T x,T y){return x>y?x:y;}
inline void init()
{
	memset(vis,1,sizeof(vis));
	vis[0]=vis[1]=0;
	phi[1]=1;
	for(register int i=2;i<MAXN;++i)
	{
		if(vis[i])
		{
			prime[++cnt]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(register int j=1;j<=cnt&&i*prime[j]<MAXN;++j)
		{
			vis[i*prime[j]]=0;
			if(i%prime[j])phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
			else
			{
				phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
				break;
			}
		}
	}
}
int main()
{
	init();
	read(n);
	for(register ll i=2,limit=sqrt(n);i<=limit;++i)res+=(n/(i*i))*phi[i];
	write(res,'
');
	return 0;
}