二分查找算法（加法方式：斐波那契查找）

二分查找算法比较熟悉的是折半查找，但是折半查找中计算mid时，有加法和除法。下面介绍仅有加法方式的二分查找算法

核心思想利用斐波那契表达式来实现加法方式的折半查找
技巧点:
1)将数组中数的个数(f(n)-1)分成 f(n-1) -1和 f(n-2)
2):f(n) - 1 = (f(n-1)-1 )+ (f(n-2)-1)
在数组中因为要用到一个mid数(中间位置的数) 故总共要减掉1,故上述表达式成立。

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# 
# 时间复杂度O(log(n))
 
def fibonacci_search_F1(lis, key):
    print("---F1---")
    # 需要一个现成的斐波那契列表。其最大元素的值必须超过查找表中元素个数的数值。
    F = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
         233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
         10946, 17711, 28657, 46368]
    low = 0
    high = len(lis) - 1
    
    # 为了使得查找表满足斐波那契特性，在表的最后添加几个同样的值
    # 这个值是原查找表的最后那个元素的值
    # 添加的个数由F[k]-1-high决定
    k = 0
    while high > F[k]-1:
        k += 1
    print(k)
    i = high
    while F[k]-1 > i:
        lis.append(lis[high])
        i += 1
    print(lis)
    
    # 算法主逻辑。time用于展示循环的次数。
    time = 0
    while low <= high:
        time += 1
        # 为了防止F列表下标溢出，设置if和else
        if k < 2:
            mid = low
        else:
            #利用F[k-1]来计算中间位置的数
            mid = low + F[k-1]-1
        
        print("low=%s, mid=%s, high=%s" % (low, mid, high))
        if key < lis[mid]:
            high = mid - 1
            k -= 1
        elif key > lis[mid]:
            low = mid + 1
            k -= 2
        else:
            if mid <= high:
                # 打印查找的次数
                print("times: %s" % time)
                return mid
            else:
                print("times: %s" % time)
                return high
    print("times: %s" % time)
    return False

def fibonacci_search_F2(lis, key):
    print("---F2---")
    # 需要一个现成的斐波那契列表。其最大元素的值必须超过查找表中元素个数的数值。
    F = [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,
         233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765,
         10946, 17711, 28657, 46368]
    low = 0
    high = len(lis) - 1
    
    # 为了使得查找表满足斐波那契特性，在表的最后添加几个同样的值
    # 这个值是原查找表的最后那个元素的值
    # 添加的个数由F[k]-1-high决定
    k = 0
    while high > F[k]-1:
        k += 1
    print(k)
    i = high
    while F[k]-1 > i:
        lis.append(lis[high])
        i += 1
    print(lis)
    
    # 算法主逻辑。time用于展示循环的次数。
    time = 0
    while low <= high:
        time += 1
        # 为了防止F列表下标溢出，设置if和else
        if k < 2:
            mid = low
        else:
            mid = low + F[k-2]-1
        
        print("low=%s, mid=%s, high=%s" % (low, mid, high))
        if key < lis[mid]:
            high = mid - 1
            k -= 2
        elif key > lis[mid]:
            low = mid + 1
            k -= 1
        else:
            if mid <= high:
                # 打印查找的次数
                print("times: %s" % time)
                return mid
            else:
                print("times: %s" % time)
                return high
    print("times: %s" % time)
    return False
 
if __name__ == '__main__':
    LIST = [1,2,3,4, 5,6, 7, 8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20]
    print("F1:%d" % fibonacci_search_F1(LIST, 15))
    print("F2:%d" % fibonacci_search_F2(LIST, 15))

以上用两种方式查找mid的值，主要思想是 mid 既可以由f(n-1) 获得 又可以由f(n-2) 获得。

F1:     f(n-1) + f(n-2) = f(n)

F2:     f(n-2) + f(n-1) = f(n)