动态规划解决最长公共子序列问题

最长公共子序列问题又称LCS问题（longest common subsequence problem）

 问题描述：

给你两个字符串str1和str2，它们之间可能存在公有子序列，子序列和子串的区别是：子序列不要求连续，只需要按照顺序出现就好，子串则要求连续：

例如：SIMPLE和NAIVE有共同的子序列IE，但是没有共同的子串。

      TOO SIMPLE和TOO YOUNG则有共同子串TOO

LCS问题就是(1)求出最长公有子序列的长度(2)求出最长公有子序列。

(1) 求出最长公有子序列的长度

解法考虑动态规划，用一个二维数组L [m][n]存状态， L [i][j]的含义是str1前i项和str2的前j项最长的公共子序列的长度。

写出状态转移方程：

第二个式子比较好理解，

第三个我是这么理解的,本应该是求：

可是很显然第三项是最小的，所以省略了。

(2)输出一个LCS

从状态表右下角开始往前回溯，当前字符相等，则存入结果字符串，当前字符不相等，比较状态表上方与左方的值，并移动到最大值位置，重复上述步骤，直到到达边界。反序输出结果字符串。

上代码：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<string.h>
int LCS(char*a,char*b){
    int m=strlen(a);
    int n=strlen(b);
    int L[m][n];
    int i,j;
    char res[20];
    int k=0;
        
    for(i=0;i<m;i++){
        for(j=0;j<n;j++){
            if(i==0||j==0){
                L[i][j]=0;      //case 1     
            }else{
                if(a[i]==b[j]){
                    L[i][j]=L[i-1][j-1]+1;  //case 2
                }else{
                    L[i][j]=L[i-1][j]>L[i][j-1]?L[i-1][j]:L[i][j-1]; // case 3
                }    
            }
            printf("%d ",L[i][j]);    
        }
        printf("
");
    }
    
    for(i=m-1,j=n-1;i>=0&&j>=0;){
        if(a[i]==b[j]){
            res[k++]=a[i];
            i--;
            j--;
            
        }else{
            if(L[i-1][j]>L[i][j-1]){
                i--;
            }else{
                j--;
            }    
        }
    }

    printf("
LCS:");
    for(i=strlen(res)-1;i>=0;i--){
        printf("%c",res[i]);
    }
    printf("
");
        
    return L[m-1][n-1];    
}
int main(){
    char str1[50];
    char str2[50];
    strcpy(str1,"SIMPLE");
    strcpy(str2,"NAIVE");
    int ret;
    
    ret=LCS(str1,str2);
    printf("length of LCS:%d
",ret);
    return 0;
}