浮点二进制表示

之前讨论的浮动，怎么看待电脑的内部整数表示。

　　int num=9;

上面这条命令。声明了一个整数变量，类型为int，值为9（二进制写法为1001）。普通的32位计算机，用4个字节表示int变量，所以9就被保存为00000000 00000000 00000000 00001001。写成16进制就是0x00000009。

那么。我们的问题就简化成：为什么0x00000009还原成浮点数。就成了0.000000？

以下一步一步的揭晓答案。

先来看一个公式。计算浮点数的公式：

依据国际标准IEEE 754。随意一个二进制浮点数V能够表示成以下的形式：

　　

　　（1）(-1)^s表示符号位，当s=0。V为正数；当s=1。V为负数。

　　（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。

　　（3）2^E表示指数位。

举例来说。十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么。依照上面V的格式。能够得出s=0。M=1.01。E=2。

十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E。剩下的23位为有效数字M。

对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S。接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

IEEE 754对有效数字M和指数E，另一些特别规定。

前面说过，1≤M<2。也就是说。M能够写成1.xxxxxx的形式，当中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时。默认这个数的第一位总是1，因此能够被舍去，仅仅保存后面的xxxxxx部分。比方保存1.01的时候，仅仅保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。

以32位浮点数为例，留给M仅仅有23位。将第一位的1舍去以后，等于能够保存24位有效数字。

至于指数E，情况就比較复杂。

首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。

这意味着。假设E为8位。它的取值范围为0~255；假设E为11位。它的取值范围为0~2047。

可是。我们知道。科学计数法中的E是能够出现负数的。所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数。对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E。这个中间数是1023。

比方，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137。即10001001。

然后，指数E还能够再分成三种情况：

（1）E不全为0或不全为1。

这时，浮点数就採用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值。再将有效数字M前加上第一位的1。

（2）E全为0。这时。浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示±0，以及接近于0的非常小的数字。

（3）E全为1。

这时，假设有效数字M全为0。表示±无穷大（正负取决于符号位s）；假设有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。

以下，让我们回到一開始的问题：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？

首先，将0x00000009拆分。得到第一位符号位s=0，后面8位的指数E=00000000，最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。

因为指数E全为0，所以符合上一节的另外一种情况。因此。浮点数V就写成：

　　V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)

显然，V是一个非常小的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。

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• 看了这篇文章才对浮点数的二进制表示有所了解，只是我的目的不是为了软考。

• C/C++编译器都是依照IEEE的浮点数表示法，即一种科学计数法 ，用符号。指数和尾数来表示，底数为2，也就是把浮点数表示为尾数乘以2的指数次方再加入上符号的形式。由于科学技术法 a×b^m的形式。a介于1～10。而浮点数表示法中。a始终为1。所以在终于的表示结果中，这个1被略去。 
  详细规格是： 
  

  	符号位	阶码	尾数	总长度
  float	1	8	23	32
  double	1	11	52	64

• 以下通过样例来解释上面的表示规格：
  • 38414.4表示为double：
    • 分开整数和小数部分，整数化为16进制。0x960E；小数部分为：0.4=0.5×0+0.25×1+0.125×1+……+0.5×（1 or 0）/n+……。 
      有的小数能够穷尽，有的是永远不会穷尽的，此时仅仅须要提取出各项的系数，即011……，这些项的和加上整数部分共53位就能够了。

      正如上面所言的，最高为不变的1能够省略，终于是53-1=52位。 
      38414.4能够表示为b1001011000001110.0110011001100110011001100110011001100。 
      用科学计数法表示为1.0010110000011100110011001100110011001100110011001100×2¹⁵。

    • 然后计算阶码。阶码共11位。能够表示-1024~1023，由于指数能够为负数，为了方便表示，先加上1023变为非负数。上面的15表示为15+1023=103，二进制为10000001110。符号位，0为正。1为负。所以终于结果是 
      0 10000001110 0010110000011100110011001100110011001100110011001100 
      颜色与上表相应。
  • 3490593表示为float：
    3490593的浮点数为3490593.0。
    • 整数化为二进制，为b1101010100001100100001，即1.101010100001100100001×2²¹，因为float的尾数有23位，须要补0，即1.10101010000110010000100×2²¹。
    • 计算阶码时，类似double的表示，阶码共8位。表示的范围是-128～127，为了方便，加上127。上面的21表示为21+127=148=b10010100。 
      终于结果是： 
      0 10010100 10101010000110010000100 
      颜色与上表相应。

  • 0.5的二进制表示： 
    上面给出了0.4的二进制表示的计算方法： 
    0.4=0.5×0+0.25×1+0.125×1+……+0.5×（1 or 0）/n+……。

     
    它是无穷尽的。知道精度合适了为止。然而对于有的数来说。是有穷的，比方 
    0.5=1×0.5。

    • 整数部分为0，小数部分为0.1，所以0.5的二进制形式是0.1。即1.0 × 2^-1。

    • 计算阶码时。用127+(-1)=126=b1111110。 
      所以终于结果是： 
      0 01111110 00000000000000000000000 
      颜色与上表相应。
  • -12.5的二进制浮点表示：
    • 整数部分为12，即b1100；小数部分为0.5，即b0.1，即1100.10000000000000000000，即1.10010000000000000000000 × 2³。

    • 计算阶码。3+127=130。即b10000010。所以终于结果是： 
      1 10000010 10010000000000000000000 
      颜色与上表相应。
  • 逆向求取。1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000转为十进制：
    • 1011 1101 0100 0000 0000 0000 0000 0000为： 
      1 01111010 10000000000000000000000 
      所以该数为-1.10000000000000000000000 × 2^{01111010-127=-5}=-b0.000011=0.046875
• 有关浮点数和double的精度（http://www.learncpp.com/cpp-tutorial/25-floating-point-numbers/）：
  Variables of type float typically have a precision of about 7 significant digits (which is why everything after that many digits in our answer above is junk). Variables of type double typically have a precision of about 16 significant digits. Variables of type double are named so because they offer approximately double the precision of a float.

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1.

前几天，我在读一本C语言教材，有一道例题：

　　#include <stdio.h>

　　void main(void){

　　　　int num=9; /* num是整型变量。设为9 */

　　　　float* pFloat=&num; /* pFloat表示num的内存地址。可是设为浮点数 */

　　　　printf("num的值为：%d ",num); /* 显示num的整型值 */

　　　　printf("*pFloat的值为：%f ",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */

　　　　*pFloat=9.0; /* 将num的值改为浮点数 */

　　　　printf("num的值为：%d ",num); /* 显示num的整型值 */

　　　　printf("*pFloat的值为：%f ",*pFloat); /* 显示num的浮点值 */

　　}

执行结果例如以下：

　　num的值为：9
　　*pFloat的值为：0.000000
　　num的值为：1091567616
　　*pFloat的值为：9.000000

我非常吃惊。num和*pFloat在内存中明明是同一个数，为什么浮点数和整数的解读结果会区别这么大？

要理解这个结果。一定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方法。我读了一些资料，以下就是我的笔记。

2.

在讨论浮点数之前，先看一下整数在计算机内部是如何表示的。

　　int num=9;

上面这条命令。声明了一个整数变量。类型为int，值为9（二进制写法为1001）。

普通的32位计算机。用4个字节表示int变量，所以9就被保存为00000000 00000000 00000000 00001001。写成16进制就是0x00000009。

那么，我们的问题就简化成：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？

3.

依据国际标准IEEE 754，随意一个二进制浮点数V能够表示成以下的形式：

　　

　　（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数。当s=1，V为负数。

　　（2）M表示有效数字。大于等于1，小于2。

　　（3）2^E表示指数位。

举例来说，十进制的5.0。写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。

那么。依照上面V的格式，能够得出s=0，M=1.01。E=2。

十进制的-5.0。写成二进制是-101.0。相当于-1.01×2^2。

那么，s=1，M=1.01，E=2。

IEEE 754规定。对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。

对于64位的浮点数。最高的1位是符号位S。接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。

5.

IEEE 754对有效数字M和指数E，另一些特别规定。

前面说过。1≤M<2。也就是说，M能够写成1.xxxxxx的形式，当中xxxxxx表示小数部分。

IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此能够被舍去。仅仅保存后面的xxxxxx部分。比方保存1.01的时候，仅仅保存01，等到读取的时候。再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例。留给M仅仅有23位。将第一位的1舍去以后，等于能够保存24位有效数字。

至于指数E。情况就比較复杂。

首先。E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，假设E为8位，它的取值范围为0~255；假设E为11位。它的取值范围为0~2047。可是。我们知道，科学计数法中的E是能够出现负数的，所以IEEE 754规定。E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。

比方，2^10的E是10。所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即10001001。

然后，指数E还能够再分成三种情况：

（1）E不全为0或不全为1。

这时，浮点数就採用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。

（2）E全为0。

这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023）。有效数字M不再加上第一位的1。而是还原为0.xxxxxx的小数。

这样做是为了表示±0。以及接近于0的非常小的数字。

（3）E全为1。

这时。假设有效数字M全为0。表示±无穷大（正负取决于符号位s）；假设有效数字M不全为0。表示这个数不是一个数（NaN）。

6.

好了，关于浮点数的表示规则，就讲到这里。

以下。让我们回到一開始的问题：为什么0x00000009还原成浮点数，就成了0.000000？

首先，将0x00000009拆分，得到第一位符号位s=0。后面8位的指数E=00000000。最后23位的有效数字M=000 0000 0000 0000 0000 1001。

因为指数E全为0，所以符合上一节的另外一种情况。

因此，浮点数V就写成：

　　V=(-1)^0×0.00000000000000000001001×2^(-126)=1.001×2^(-146)

显然，V是一个非常小的接近于0的正数。所以用十进制小数表示就是0.000000。

7.

再看例题的第二部分。

请问浮点数9.0，怎样用二进制表示？还原成十进制又是多少？

首先。浮点数9.0等于二进制的1001.0，即1.001×2^3。

那么，第一位的符号位s=0，有效数字M等于001后面再加20个0，凑满23位，指数E等于3+127=130，即10000010。

所以。写成二进制形式。应该是s+E+M，即0 10000010 001 0000 0000 0000 0000 0000。这个32位的二进制数。还原成十进制，正是1091567616。

（完）

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