【和二分图判定问题的例题】

关键词：并查集，二分图，树剖，树上差分，LCA，搜索。

例题一：

CodeForces-85E：Guard Towers

题意：给定平面上N个点(N<=5000)，以及N个点的坐标。现在可以把每个点染成红色或者蓝色。求最小化同色点的最大距离，且求出相应的方案数。

思路：二分答案L，把距离大于等于L的连边，然后判定是否是二分图：  对于求方案数，ans=pow(2,cnt)，cnt是连通块的数量。因为每个连通块是二分图，一个二分图的染色方案只有两种。 复杂度O(N^2*logL)。

 （当然，最优的解法是转化为切比雪夫距离，复杂度低很多，这里先不管它。）

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5010;
const int Mod=1e9+7;
vector<int>G[maxn];
int x[maxn],y[maxn],vis[maxn],col[maxn],N;
int qpow(int a,int x){
    int res=1;
    while(x){
        if(x&1) res=(res*1ll*a)%Mod;
        x>>=1;
        a=(a*1ll*a)%Mod;
    }   return res;
}
void read(int &res){
    char c=getchar();res=0;
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0';
}
void init(int len){
    for(int i=1;i<=N;i++) vis[i]=0,G[i].clear();
    for(int i=1;i<=N;i++)
     for(int j=i+1;j<=N;j++){
          int dis=abs(x[i]-x[j])+abs(y[i]-y[j]);
          if(dis>len) {
              G[i].push_back(j);
              G[j].push_back(i);
          }
    }
}
bool dfs(int u,int opt)
{
    vis[u]=1; col[u]=opt; 
    int L=G[u].size();
    for(int i=0;i<L;i++){
        int v=G[u][i];
        if(!vis[v]) {
            if(!dfs(v,opt^1)) return false;
        }
        else if(col[v]==opt) return false;
    }
    return true;
}
bool check(int len)
{
    init(len);
    for(int i=1;i<=N;i++){
        if(!vis[i]) {
            if(!dfs(i,0)) return false;
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    read(N); 
    for(int i=1;i<=N;i++) read(x[i]),read(y[i]);
    int L=0,R=10000,Mid,ans;
    while(L<=R){
        Mid=(L+R)>>1;
        if(check(Mid)) ans=Mid,R=Mid-1;
        else L=Mid+1;
    }
    init(ans); int cnt=0,ans2;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            cnt++;
            dfs(i,0);
        }
    }
    ans2=qpow(2,cnt);
    printf("%d
%d
",ans,ans2);
    return 0;
}

#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=5010;
const int Mod=1e9+7;
int x[maxn],y[maxn],vis[maxn],col[maxn],N;
int qpow(int a,int x){
    int res=1;
    while(x){
        if(x&1) res=(res*1ll*a)%Mod;
        x>>=1;
        a=(a*1ll*a)%Mod;
    }   return res;
}
void read(int &res){
    char c=getchar();res=0;
    for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
    for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar()) res=(res<<3)+(res<<1)+c-'0';
}
bool dfs(int u,int opt,int len)
{
    vis[u]=1; col[u]=opt; 
    for(int v=1;v<=N;v++){
        if(abs(x[u]-x[v])+abs(y[u]-y[v])<=len) continue;
        if(!vis[v]) {
            if(!dfs(v,opt^1,len)) return false;
        }
        else if(col[v]==opt) return false;
    }
    return true;
}
bool check(int len)
{
    for(int i=1;i<=N;i++) vis[i]=0;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        if(!vis[i]) {
            if(!dfs(i,0,len)) return false;
        }
    }
    return true;
}
int main()
{
    read(N); 
    for(int i=1;i<=N;i++) read(x[i]),read(y[i]);
    int L=0,R=10000,Mid,ans;
    while(L<=R){
        Mid=(L+R)>>1;
        if(check(Mid)) ans=Mid,R=Mid-1;
        else L=Mid+1;
    }
    int cnt=0,ans2;
    for(int i=1;i<=N;i++) vis[i]=0;
    for(int i=1;i<=N;i++){
        if(!vis[i]){
            cnt++;
            dfs(i,0,ans);
        }
    }
    ans2=qpow(2,cnt);
    printf("%d
%d
",ans,ans2);
    return 0;
}

例题二：

CodeForces-164D：Minimum Diameter

题意：给定平面上N个点(N<=1000)，以及N个点的坐标。给定K，求删去K个点后，最小化的最远距离。

思路：同上，二分答案，把大于等于L的连边，然后就是求最小点覆盖，即每条边至少有一个点被覆盖(删去)。但是没有规律的无向图的最小点覆盖是NP问题，只能暴力，这里小小的优化一下，如果一个点的入度是1，那么显然覆盖那边边的另一个点。

如果没有见过，两个代码都不是那么好实现（特别是第二个，哭晕）。

例题三：

CodeForces-19E：Fiary 

题意：给定N点M边的无向图，问删去一条边后变为二分图的情况有哪些。

思路：和上面两题有些不一样，不是二分+判定题。 如果存在奇环，则不是二分图。然后（blabla，总之）需要删去的边为所有奇环所共有，且不在偶环上。

具体实现：DFS出一棵生成树，然后染色。对于剩下的没有参与生成树的边，如果两端同色，表示形成了奇环，则在奇环上每条边+1，否则在偶环上-1，最后边权对于奇环总数的边则为答案边。   +1和-1操作可以通过LCA+差分或者树剖实现。