BZOJ3994：约数个数和（莫比乌斯反演：求[1,N]*[1,M]的矩阵的因子个数）

Description

 设d(x)为x的约数个数，给定N、M，求  

Input

输入文件包含多组测试数据。

第一行，一个整数T，表示测试数据的组数。

接下来的T行，每行两个整数N、M。

Output

 T行，每行一个整数，表示你所求的答案。

Sample Input

2
7 4
5 6

Sample Output

110
121

HINT

 1<=N, M<=50000

1<=T<=50000

思路：关键在于要知道X*Y的因子，为X的因子i和Y因子j的且满足i和j互质的个数。

然后就可以莫比乌斯了。求gcd为1的个数，我们就加一个莫比乌斯系数进去....一系列操作后把常数提前，然后利用杜教筛分块求出答案。

这里有部分是求因子个数，因为这两天感受到了线性筛的强大，所以我直接在筛莫比乌斯的时候筛出来了。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=50010;
int f[maxn],vis[maxn],p[maxn],num[maxn],low[maxn],cnt,mu[maxn];
void presolve()
{
    f[1]=1; mu[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]) f[i]=2,p[++cnt]=i,mu[i]=-1,low[i]=i,num[i]=1;
        for(int j=1;j<=cnt&&p[j]*i<maxn;j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){
                mu[i*p[j]]=0; num[i*p[j]]=num[i]+1;
                low[i*p[j]]=low[i]*p[j];
                f[i*p[j]]=f[i]/(1+num[i])*(2+num[i]);
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];low[i*p[j]]=p[j];
            num[i*p[j]]=1; f[i*p[j]]=f[i]*2;
        }
    }
    for(int i=1;i<maxn;i++) f[i]+=f[i-1],mu[i]+=mu[i-1];
}
int main()
{
    presolve();
    int T,N,M; ll ans;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&N,&M); ans=0; if(N>M) swap(N,M);
        for(int i=1,j;i<=N;i=j+1){
           j=min(N/(N/i),M/(M/i));
           ans+=(ll)(mu[j]-mu[i-1])*f[N/i]*f[M/i];
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
    return 0;
}