欧拉之路

Prime digit replacements

 枚举每一位放数字还是放未知的，如果为止的就拿1代替单独存

因为要有8个，所以我们可知未知的一定是三的倍数，末尾一定是1,3,7，然后暴力搞一搞（剪枝跑得飞快）

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
#define int long long
using namespace std;
int last[3]={1,3,7};
bool check(int x){//判断素数 
    if(x==1||(x%6!=1&&x%6!=5))
        return 0;
    if(x==2||x==3)return 1;
    int MAX=sqrt(x);
    for(int i=5;i<=MAX;i+=6)
        if(x%i==0||x%(i+2)==0)
            return 0;
    return 1;
}
void dfs(int k,int unknow,int know,int rest){//第几位 未知的放的位置 已知的 还剩几个未知的 
    if(k-1<rest)return;//最后一位不放未知的 
    if(k==1){
        for(int p=0;p<3;p++){//枚举最后一位 
            int f=0,ans=0;
            for(reg int i=0;i<=9;i++)
            if(check((know+unknow*i)*10+last[p])){
                if(unknow>know&&i==0)ans--;
                ans++;
                if(!f)f=(know+unknow*i)*10+last[p];
                if(ans+(9-i)<8)break; //如果剩下全是还没有8个就退出 
            }
            if(ans==8){//输出答案 
                printf("%d
",f);
                exit(0);
            }
            f=0,ans=0;
        }
        return;
    }
    for(reg int i=0;i<=9;i++)
        dfs(k-1,unknow*10,know*10+i,rest);//继续搜索 
    dfs(k-1,unknow*10+1,know*10,rest-1);
    return;
}
signed main(){
    for(reg int k=1;;k++){
        for(reg int l=3;l<k;l+=3)
            dfs(k,0,0,l);
    }
    return 0;
}

Permuted multiples

可以看出，125874和它的两倍251748拥有同样的数字，只是排列顺序不同。

有些正整数x满足2x、3x、4x、5x和6x都拥有相同的数字，求其中最小的正整数。

可知$x,6x$位数相同，所以加一个小小的剪枝，然后暴力判断

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n=1e5;
bool check(int x){
    int a=x,f=0;
    while(a){
        f+=pow(10,a%10);
        a/=10;
    }
    for(int i=2;i<=6;i++)
    {
        a=x*i;
        int ff=0;
        while(a){
            ff+=pow(10,a%10);
            a/=10;
        }
        if(ff!=f)return false;
    }
    return true;
}
signed main()
{
    while(1){
        for(int i=n;i*6<n*10;i++){
            if(check(i)){
                printf("%d
",i);
                goto ed;
            }
        }
            
        n*=10;
    }
    ed:
    return 0;
}

Combinatoric selections

 首先你得知道$inom{n}{r}=inom{n}{n-r}=frac{n!}{r!(n-r)!}$

当$rleq lfloor frac{n}{2} floor$时，这个值是不会下降的，然后找到递推式

然后找到 最大的直接计算就行了

Lychrel numbers

暴力stringstream转换然后判断回文即可

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int ans,tag;
bool check(int x){
    for(int i=1;i<=60;i++){
        bool f=1;
        int nt=0;
        stringstream ss;
        string s;
        ss<<x;
        ss>>s;
        int len=s.size()-1;
        for(int i=0;i<=len;i++){
            nt=nt*10+s[i]+s[len-i]-'0'-'0';
            if(s[i]!=s[len-i])f=0;
        }
        if(f&&i!=1){
            return f;
        }
        x=nt;
    }
    return false;
}
signed main(){
    for(tag=1;tag<=10000;tag++){
        if(!check(tag))ans++;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}