欧拉之路Ⅳ

Problem 84

Monopoly odds

 模拟一下即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
queue<int> cc,ch;
set<int> R,U,CC,CH;
int ts(int k){
    if(R.count(k))return 1;
    if(U.count(k))return 2;
    if(CH.count(k))return 3;
    if(CC.count(k))return 4;
    return 0;
}
int get_cc(int x){
    int k=cc.front();
    cc.pop();cc.push(k); 
    if(k==1)return 0;
    if(k==2)return 10;
    return x;
}
int get_ch(int x){
    int k=ch.front();
    ch.pop();ch.push(k);
    if(k>=11)return x;
    switch(k){
        case 1:return 0;//GO
        case 2:return 10;//JAIL
        case 3:return 11;//C1
        case 4:return 24;//E3
        case 5:return 38;//H2
        case 6:return 5;//R1
        case 7:{
            while(ts(x)!=1){
                (x+=41)%=40;
            }
            return x;
            break;
        }
        case 8:{
            while(ts(x)!=1){
                (x+=41)%=40;
            }
            return x;
            break;
        }
        case 9:{
            while(ts(x)!=2){
                (x+=41)%=40;
            }
            return x;
            break;
        }
        case 10:return (x-3+40)%40;
    }
}
void init(){
    int a[20];
    for(int i=1;i<=16;i++)
        a[i]=i;
    random_shuffle(a+1,a+17);
    for(int i=1;i<=16;i++)
        cc.push(a[i]);
    random_shuffle(a+1,a+17);
    for(int i=1;i<=16;i++)
        ch.push(a[i]);
    R.insert(5),R.insert(15),R.insert(25),R.insert(35);
    U.insert(12),U.insert(28);
    CH.insert(6),CH.insert(22),CH.insert(36);
    CC.insert(2),CC.insert(17),CC.insert(33);
}
void get(int &x){
    if(x==30){
        x=10;
        return;
    }
    if(ts(x)==3){
        x=get_ch(x);
        return;
    }
    if(ts(x)==4){
        x=get_cc(x);
        return;
    }
    return;
}
int cnt;
int dice(){
    int a=rand()%4 +1;
    int b=rand()%4 +1;
    if(a==b)cnt++;
    else cnt=0;
    return a+b;
}
const double MAX_T=10;
int g[50],tot;
struct node{
    int id;
    double num;
    bool operator < (const node &x)const{
        return num>x.num;
    }
}result[50];
int tms=5;
int main(){
    srand(time(NULL));
    init();
    int now=0;
    while((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC<MAX_T){
        now+=dice();
        (now+=40)%=40;
        if(cnt==3){
            cnt=0;
            now=10;
        }
        get(now);
        tot++;
        g[now]++;
    }
    for(int i=0;i<40;i++){
        result[i]=(node){i,1.0*g[i]/tot};
    }
    sort(result,result+40);
    for(int i=0;i<40;i++){
        printf("%d %.4lf
",result[i].id,result[i].num);
    } 
    return 0;
}

Problem 85

Counting rectangles

 

 假设长方形长$x$宽$y$

则长的不同选择方法有$x*(x+1)/2$种

宽的不同选择方法有$y*(y+1)/2$种

所以总共就有$x*(x+1)/2*y*(y+1)/2$种，

可以$O(n^2)$求解，但是考虑更高效的方法，我们枚举$x$即可，$y$可以通过二分得到，然后$±1$求一下即可

时间复杂度$O(n log  n)$

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int p=1e9;
int ans=1e9,k,S;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
signed main(){
    k=read();
    for(int i=1;;i++){
        int x=(i+1)*i/2;
        if(x>k+k/2)break; 
        int l=1,r=k; 
        while(l<=r){
            int mid=(l+r)>>1;
            int y=(1+mid)*mid/2;
            if(y*x>=k)r=mid-1;
            else l=mid+1;
        }
        if(abs(k-(r+1)*r/2*x)<abs(k-ans)){
            ans=(r+1)*r/2*x;
            S=i*r;
        }
        r++;
        if(abs(k-(r+1)*r/2*x)<abs(k-ans)){
            ans=(r+1)*r/2*x;
            S=i*r;
        }
    }
    cout<<S;
    return 0;
}

Problem 85

Cuboid route

首先对于任意一个长方体，假设他的长宽高分别为$a,b,c$

那么对角线的走法肯定只有三种，即

$sqrt{(a+b)^2+c^2}$

$sqrt{(a+c)^2+b^2}$

$sqrt{(b+c)^2+a^2}$

假设我们现在令第一种方式是最短路径，则可以推出

$2ab leq 2ac leq 2bc$从而得到$a leq b leq c$

我们这里可以枚举$c$，把$ab=a+b$看成一个整体显然$2 leq ab leq 2c$

然后内层枚举$ab$，判断一下是否是勾股数，再考虑怎么分配（注意$a=1,b=3$和$a=3,b=1$算同一种分配）

若$ab < c$那么显然可以取完，那么贡献就是$lfloor frac{ab}{2} floor$

若$ab geq c$那么就要满足$ab-c leq b leq c$所以贡献就是$(2*c-ab+1+1)/2$

（解释一下上面那个怎么来的，因为$b$有$c-(ab-c)+1$种取值，每一种取值$c$都会对应这个范围内的取值，所以要$/2$但是由于$b=c$的特殊情况下取整会取掉，所以再$+1$维护）

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int m;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
signed main(){
    m=read();
    int cnt=0,c=1;
    while(cnt<m){
        c++;
        for(int ab=1;ab<=2*c;ab++){
            int p=ab*ab+c*c;
            int tmp=sqrt(p);
            if(tmp*tmp==p){
                cnt+=(ab>=c)?(2*c-ab)/2+1:ab/2;
            }
        }
    }
    printf("%d",c);
    return 0;
}

Problem 87

Prime power triples

 先欧拉筛素数，然后暴力枚举判断

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10000;
int n,MAX,len,ans;
int v[N],p[N];
bool used[50000010];
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
inline void get_prime(){
    for(int i=2;i<=MAX;i++){
        if(!v[i])p[++len]=i;
        for(int j=1;j<=len&&p[j]*i<=MAX;j++){
            v[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
int main(){
    n=read();
    MAX=sqrt(n);
    get_prime();
    for(int i=1;i<=len;i++){
        int x=p[i]*p[i];
        if(x>n)break;
        for(int j=1;j<=len;j++){
            int y=p[j]*p[j]*p[j];
            if(x+y>n)break;
            for(int l=1;l<=len;l++){
                int z=p[l]*p[l]*p[l]*p[l];
                if(x+y+z>n)break;
                if(!used[x+y+z])used[x+y+z]=1,ans++;
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

Problem 88

Product-sum numbers

对于一个$k$一定从$k+1$开始枚举才有可能是有效的，然后就是纯搜索，剪剪枝就跑过去了

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int answer;
set<int>::iterator it;
set<int>ans;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
inline void write(int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
bool check(int x,int y,int d){//积 和 digit 
    if(y<d)return false;
    if(x==1)return y==d;
    if(d==1)return x==y;
    for(int i=1;i*i<=x;i++)if(x%i==0){
        if(i!=1&&check(x/i,y-i,d-1))return 1;
        int xx=x/i;
        if(check(i,y-xx,d-1))return 1;
    }
    return 0;
}
int get(int n){
    for(int i=n+1;;i++)
        if(check(i,i,n))return i;
}
signed main(){
    int n=read();
    for(int i=2;i<=n;i++){
        int k=get(i);
        ans.insert(k);
    }
    for(it=ans.begin();it!=ans.end();it++)
        answer+=*it;
    write(answer);
    return 0;
}

Problem 89

Roman numerals

可以把他给的罗马数字强制转化成数字然后再转换成罗马数字

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
inline void write(int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
char s[10010];
int v[3][10]={0,1,2,3,2,1,2,3,4,2,
              0,1,2,3,2,1,2,3,4,2,
              0,1,2,3,2,1,2,3,4,2};
int ans,sum;
int main(){
    while(~scanf("%s",s+1)){
        if(s[1]=='P')break;
        int n=strlen(s+1),res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            switch(s[i]){
                case 'M':{
                    res+=1000;
                    break;
                }
                case 'D':{
                    res+=500;
                    break;
                }
                case 'C':{
                    if(i!=n&&(s[i+1]=='M'||s[i+1]=='D'))res-=100;
                    else res+=100;
                    break;
                }
                case 'L':{
                    res+=50;
                    break;
                }
                case 'X':{
                    if(i!=n&&(s[i+1]=='L'||s[i+1]=='C'))res-=10;
                    else res+=10;
                    break;
                }
                case 'V':{
                    res+=5;
                    break;
                }
                case 'I':{
                    if(i!=n&&(s[i+1]=='V'||s[i+1]=='X'))res--;
                    else res++;
                    break;
                }
            }
        }
        ans+=res/1000;
        res%=1000;
        ans+=v[0][res%10];
        ans+=v[1][res/10%10];
        ans+=v[2][res/100];
        sum+=n;
    }
    write(sum-ans);
    return 0;
}

其实有另一种更简单的方法，考虑能简化的只有

DCCCC ---> CM

LXXXX ---> XC

VIIII ---> IX

IIII ---> VI

XXXX --->XL 

CCCC ---> CD

因为都是两个，随便找个东西就代替了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string s;
string ss="AA";
string f[6]={"DCCCC","LXXXX","VIIII","IIII","XXXX","CCCC"};
int ans;
int main(){
    while(cin>>s){
        if(s=="P")break;
        int a=s.size();
        for(int i=0;i<6;i++){
            int p=s.find(f[i]);
            while(p!=-1){
                s.replace(p,f[i].size(),ss);
                p=s.find(f[i]);
            }
        }
        ans+=a-s.size();
    }
        cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

Problem 90

Cube digit pairs

搜索啊，暴力啊，但是方案数要除以二，可能重复，搜索也保证递增即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
inline void write(int x){
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int ina[10],inb[10];
int v[10][2]={0,0,0,1,0,4,0,9,1,6,2,5,3,6,4,9,6,4,8,1};
void dfsb(int k,int pre){
    if(k==7){
        int f=1;
        for(int i=1;i<=9;i++){
            if(ina[v[i][0]]&&inb[v[i][1]]||ina[v[i][1]]&&inb[v[i][0]]);
            else f=0;
        }
        ans+=f;
        return ;
    }
    for(int i=pre;i<=9;i++){
        inb[i]++;
        if(i==6)inb[9]++;
        if(i==9)inb[6]++;
        dfsb(k+1,i+1);
        inb[i]--;
        if(i==6)inb[9]--;
        if(i==9)inb[6]--;
    }
    return;
}
void dfs(int k,int pre){
    if(k==7){
        dfsb(1,0);
        return ;
    }
    for(int i=pre;i<=9;i++){
        ina[i]++;
        if(i==6)ina[9]++;
        if(i==9)ina[6]++;
        
        dfs(k+1,i+1);
        ina[i]--;
        if(i==6)ina[9]--;
        if(i==9)ina[6]--;
        
    }
    return;
}
int main(){
    dfs(1,0);
    cout<<ans/2;
    return 0;
}

Problem 91

Right triangles with integer coordinates

$O(n^4)$枚举，注意不能重点，共线可以不判断，最后答案除以二

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
int main(){
    int n=read();
    for(int i=0;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=n;j++){
            for(int x=0;x<=n;x++){
                for(int y=0;y<=n;y++){
                    if(i==x&&j==y)continue;
                    if(x==0&&y==0)continue;
                    if(i==0&&j==0)continue;
                    int a=i*i+j*j;
                    int b=x*x+y*y;
                    int c=(i-x)*(i-x)+(j-y)*(j-y);
                    if(a+b==c||a+c==b||b+c==a)ans++;
                }
            }
        }
    }
    cout<<ans/2;
    return 0;
}

Problem 92

Square digit chains

记忆化搜索即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20000000;
short ans[N];
int sq[10]={0,1,4,9,16,25,36,49,64,81};
int get(int x){
    if(ans[x])return ans[x];
    int p=x,res=0;
    while(p){
        res+=sq[p%10];
        p/=10;
    }
    return ans[x]=get(res);
}
int main(){
    int n,answer=0;
    ans[1]=1,ans[89]=89;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans[i]=get(i);
        if(ans[i]==89)answer++;
    }
    cout<<answer;
    return 0;
}

Problem 93

Arithmetic expressions

搜索一下，枚举选的数，然后全排列，再枚举符号，注意第一个可能是负的

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int ans,x,y,z,m;
int a[50];
int op[50];
bool vis[100010];
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
void work(int k){
    if(k==4){
        int fz=((op[0]==1)?1:-1)*a[1],fm=1;
        for(int i=2;i<=4;i++){
            switch(op[i-1]){
                case 1:{
                    fz=fz+fm*a[i];
                    break;
                }
                case 2:{
                    fz=fz*a[i];
                    break;
                }
                case 3:{
                    fm*=a[i];
                    break;
                }
                case 4:{
                    fz=fz-fm*a[i];
                    break;
                }
            }
        }
        if(fz<0)return;
        int GCD=__gcd(fm,fz);
        fm/=GCD,fz/=GCD;
        if(fm==1)vis[fz]=1;
        return;
    }
    for(int i=1;i<=4;i++)
        op[k]=i,work(k+1);
    return;
}
void check(){
    memset(vis,0,sizeof vis);
    do{
        op[0]=1;
        work(1);
        op[0]=0;
        work(1);
    }while(next_permutation(a+1,a+1+4));
}
void find_(int k,int pre){
    if(k==5){
        check();
        for(int i=1;;i++){
            if(!vis[i]){
                if(i-1>ans){
                    ans=i-1;
                    x=a[1],y=a[2],z=a[3],m=a[4];
                }
                break;
            }
        }
        return;
    }
    for(int i=pre;i<=9;i++){
        a[k]=pre;
        find_(k+1,i+1);
    }
}
int main(){
    find_(1,1);
    printf("%d
%d %d %d %d",ans,x,y,z,m);
    return 0;
}

Problem 94

Almost equilateral triangles

 假设边长分别为$x,x,x+1$

那么$p=frac{3x+1}{2}$

$S=sqrt{p(p-x)(p-x)(p-x-1)}$

所以$p(p-x-1)$是平方数

所以有$3x^2-2x-1=y$,$y$是平方数，前面那个分母为$4$本来也是平方数，所以保证$y$是偶数即可

然后就解一个一元二次方程，因为边长是正的，所以

$x=frac{1+sqrt{3y+4} }{3}$

我们只需要枚举$sqrt{3y+4}$进而判断$y$是否合法，然后计算答案就行

若$x,x,x-1$的边长，只变了前面那个$1$的符号

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int ans;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
inline bool check(int x){
    int xx=sqrt(x);
    return xx*xx==x;
}
signed main(){
    int n=read();
    for(int i=1;;){
        if((i+1)%3==0)i+=2;
        else if((i-1)%3==0)i++;
        int z=i*i;
        if((z-4)%3)continue;
        int y=(z-4)/3;
        if(!check(y))continue;
        int x1=(i+1)/3;
        int x2=(i-1)/3;
        if(3*x2>n||3*x1>n)break;
        if((i+1)%3==0 and x1>1)ans+=3*x1+1,cout<<x1<<" +1"<<endl;
        if((i-1)%3==0 and x2>2)ans+=3*x2-1,cout<<x2<<" -1"<<endl;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

 

Problem 95

Amicable chains

 拿一个栈判环，把环上的全都赋值，不是环上的就变成-1，保证每个数只会被搜到一次

至于真因数和线性筛即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10000010;
int n,answer,id,len;
int v[N];
int in[N];
int ans[N];
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
int g[N],d[N],p[N];
inline void get_d(){
    g[1]=d[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!v[i])
            p[++len]=i,d[i]=i+1,g[i]=i+1;
        for(int j=1;j<=len&&p[j]*i<=n;j++){
            v[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0){
                g[i*p[j]]=g[i]*p[j]+1;
                d[i*p[j]]=d[i]/g[i]*g[i*p[j]];
                break;
            }
            d[i*p[j]]=d[i]*d[p[j]];
            g[i*p[j]]=1+p[j];
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i]-=i;
}
int s[N],top;
void get(int x,int dep){
    if(x>n)return;
    if(ans[x]){
        while(top)
            ans[s[top--]]=-1;
        return;
    }
    if(in[x]){
        int len=dep-in[x];
        while(s[top]!=x)
            ans[s[top--]]=len;
        ans[s[top--]]=len;
        while(top)
            ans[s[top--]]=-1;
        return;
    }
    s[++top]=x;
    in[x]=dep;
    get(d[x],dep+1);
    in[x]=0;
    return;
}
int main(){
    n=read();
    get_d();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        top=0;
        get(i,1);
        if(ans[i]>answer){
            answer=ans[i];
            id=i;
        }
    }
    cout<<id<<" "<<answer;
    return 0;
}

Problem 96

Su Doku

就是一道简单搜索，拿一个数组打标记就行了

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f,ans;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
char s[11][11];
int a[11][11];
int X[11],Y[11],sq[11];
inline int get_sq(int x,int y){
    x=(x-1)/3;
    y=(y-1)/3+1;
    return x*3+y;
}
void prepare(){
    for(int i=1;i<=9;i++){
        for(int j=1;j<=9;j++){
            if(s[i][j]=='0')continue;
            a[i][j]=s[i][j]-'0';
            X[i]^=(1<<s[i][j]-'0');
            Y[j]^=(1<<s[i][j]-'0');
            sq[get_sq(i,j)]^=(1<<s[i][j]-'0');
        }
    }
    return;
}
void dfs(int x,int y){
    if(f)return;
    if(y==10)x++,y=1;
    if(x==10){f=1;ans+=a[1][1]*100+a[1][2]*10+a[1][3];return;}
    if(s[x][y]!='0'){
        dfs(x,y+1);
        return;
    }
    for(int i=1;i<=9;i++){
        if((X[x]>>i)&1)continue;
        if((Y[y]>>i)&1)continue;
        if((sq[get_sq(x,y)]>>i)&1)continue;
        X[x]^=1<<i,Y[y]^=1<<i;
        sq[get_sq(x,y)]^=1<<i;
        a[x][y]=i;
        dfs(x,y+1);
        X[x]^=1<<i,Y[y]^=1<<i;
        sq[get_sq(x,y)]^=1<<i;
    }
}
signed main(){
    for(int i=1;i<=50;i++){
        memset(X,0,sizeof X);
        memset(Y,0,sizeof Y);
        memset(a,0,sizeof a);
        memset(sq,0,sizeof sq);
        f=0;
        scanf("%s%s",s[0],s[0]);
        for(int i=1;i<=9;i++)
            scanf("%s",s[i]+1);
        prepare();
        dfs(1,1);
    }
        cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

Problem 97

Large non-Mersenne prime

根据题意，注意不能快速幂，会炸，直接循环然后取余即可

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int p=10000000000;
int ans=1;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
signed main(){
    int base=7830457;
    while(base--){
        ans=ans*2%p;
    }
    ans=ans*28433%p;
    ans++;
    cout<<ans;
    return 0;
}

Problem 99

有$x=a^{log_a(x)}$

所以$x^y=a^{log_a(x)*y}$

因为底数$a$相同，所以我们只需要比较指数就能比较出大小

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int id,MAX;
inline int read(){
    int f=1,x=0;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return f*x;
}
signed main(){
    for(int i=1;i<=1000;i++){
        int x=read(),y=read();
        int n=(log2(x)*y);
        if(n>MAX){
            MAX=n,id=i;
        }
    }
    cout<<id;
    return 0;
}