58.$SAM$后缀自动机
东西挺多的
$SAM$中每一个节点都是一个$endpos$的等价类，节点与节点之间有字符的转移。构成的$SAM$是一个$DAG$，每一个在原串中本质不同的子串都唯一对应一条在$SAM$从初始节点出发的路径
可以发现对于一个节点的那些串，如果以长度升序排序后，前一个串是后一个串的后缀并且长度相差$1$，那么记最长的那一个串长度为$len(x)$，最短的一个串为$minlen(x)$，定义后缀链接为这个串最长一个串的$endpos$不和当前节点的$endpos$集合相同的节点，那么可以发现$len(link(x))=minlen(x)$，那么可以知道一个点所包含的本质不同子串个数就是$len(x)-len(link(x))$
首先是其构造，大概流程就是，在构造过程中记录前面一个前缀的节点，在后面添加一个字符的时候，新建一个节点$x$，先不断地扩展那些没有当前字符转移的节点，把这些节点的这种字符转移转移到当前节点$x$上，设第一个以前就有这种字符转移的节点为$p$，转移到的节点为$q$，如果$len(q)=len(p)+1$，那么直接把x的后缀链接设为$q$，否则克隆出一个新节点$cl$，令$len(cl)=len(p)+1$并且把所有小于其长度的节点重定向为$cl$，最后把$q$和$x$连接到$cl$上
可以发现$link(x)$形成了一个树形结构，那么这棵树就叫$parent$树，这棵树有很多性质
如果设那些前缀节点为终点，那么终点的$endpos$集合就是对应前缀的下标，那么对于任意一个节点来说，其$endpos$集合就是这个节点在$parent$树上子树所有终点构成的集合，那么可以方便通过一次$dfs$维护出所有节点$endpos$集合的大小，对于具体位置是哪些需要线段树合并来做
对于$parent$树上节点$x$，那么节点$x$到根路径上所有节点对应字符串恰好构成了所有$x$节点的后缀，相当于划分成了若干个区间，并且这些区间不交
那么在$parent$树上跳类似于$AC$自动机上建出的失配树上跳，只不过$SAM$相当于把所有子串建出了一个压缩版的$AC$自动机，那么这个东西可以做类似求两个串最长公共子串的问题，就是不断尝试去匹配，如果匹配失败就跳$parent$树，直到跳到空节点或者重新匹配上
《各 种 套 路》
59.最小圆覆盖
随机增量法，随机增量法就是对于前$i$个元素，处理出来符合条件的答案，然后试图去扩展到$i+1$个位置，需要保证原来的序列是打乱过的
最小圆覆盖就是这个的应用
考虑当前扩展到第$i$个点，设当前圆为$O$，那么去判断一下$i+1$是否在$O$内，如果在那么继续下一轮判断，如果不在，那么说明$i+1$这个点一定在新的覆盖圆上，因为这个圆需要向$i+1$这个点偏移，但又同时要满足原来的点在圆内，之前已经是最小覆盖圆，有至少一个点在圆上，如果$i+1$不在圆上，那么这个圆一定可以继续缩小
那么现在可以先把圆心设为这个点，半径为$0$，然后重新枚举之前的点，看是否在圆上，如果不在把圆设为过这两个点的圆，然后继续枚举前面的点，如果还不在圆上，把圆设为经过这三个点的圆，那么不断做下去就可以找到最小覆盖圆
每一次进入下一层循环的概率都是对应下标分之$3$，那么最终期望运行复杂度为$O(n)$
60.竞赛图求哈密顿回路
竞赛图就是无向完全图给每条边定一个方向，在任意一个竞赛图中一定存在一条哈密顿路径，在一个强连通的竞赛图中一定存在一条哈密顿回路
对于求哈密顿路径，可以如下的归纳构造
对于$1$到$i-1$的点，我们假设已经求得其哈密顿路径
如果当前i号点有连向$1$号点或者$i-1$号点连向了$i$号点，那么直接加入路径的首或者尾
否则记$x$号点为$i$第一个连向的节点，那么$[1,x)$中的节点，都是连向$i$的，那么可以构造$...(x-1) ightarrow i ightarrow x ightarrow (x+1)...$的路径
求得哈密顿路径之后就可以构造哈密顿回路，那么首先找出最后一个有边连向第一个节点的点
考虑还是归纳构造，对于$1$到$i-1$的点已经构造出其哈密顿回路，也就是一个环
分两种情况讨论，首先如果没有边连向环中，那么先跳过这个节点，向下考虑
那么设第一个环中的节点$x$，使得$i$连向$x$，那么可以构造一个新环，就是将所有当前不在环中的点，依次插入$x$前面
61.对于询问区间定长设关键点
如果每一次询问的区间都是相同长度的，设长度都为$k$，那么可以在原序列上每隔$k$个点设一个关键点，然后在关键点上记录这个点向后$k$个的后缀信息，向前$k$个的前缀信息，那么每一次询问的区间一定覆盖了某一个关键点，那么利用关键点的信息即可
62.点减边
对于树上路径问题，如果考虑重链剖分的话，会把某一条路径拆成$log$个区间，对于那些某一条路径只计一次数的问题，如果对于每一个区间都进行一次统计的话会算重，那么可以考虑统计是区间内的点和边的数量
然后最后统计答案的时候相减，只会得到$0/1$的答案，还有注意在重链剖分的时候，需要将每一条链顶上面的那条轻边算到这条链上来
具体问题具体分析
63.解二维递推式
列出计数$DP$后，如果是二维形式，并且数据范围给的是$O(n)$级别的话，考虑去解其递归式
一般需要再列出一个方程，与之前的方程联立，得到一阶递推关系，然后去做