【原题链接】
约瑟夫环，普通链表法O(nk)复杂度无法承受，但是可以有O(n)的算法。
以下摘自百度百科：
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人（编号一定是（m-1）%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：
k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-3 --> n-3
k-2 --> n-2
序列1：0,1,2,3 … n-2,n-1
序列2：0,1,2,3 … k-2,k，…，n-2,n-1
序列3：k,k+1,k+2,k+3，…，n-2,n-1,1,2,3，…，k-2
序列4：0,1,2,3 …，5,6,7,8，…，n-3,n-2
变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：
∵ k=m%n;
∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n
∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n
得到 x‘=(x+m)%n
如何知道（n-1）个人报数的问题的解? 对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].
递推公式：
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
也就是说，假设最后为第n层，只剩下编号0（人数为1），然后向上推一层，那么(f[i-1] + m) % i就是第n层0编号在第n-1层的位置，再向上推到第一层恢复为原来序列，那么此时推到的位置就是最后的赢家的真实位置了。
ps：《训练指南》里的代码好像过不了这题。
View Code
1 #include <stdio.h> 2 #include <iostream> 3 using namespace std; 4 int main() 5 { 6 int n, k, m; 7 while(cin >> n >> k >> m) 8 { 9 if( n==0 && k==0 && m==0 ) break; 10 int cur = 0; 11 for(int i = 2; i < n; ++ i) 12 cur = (cur + k) % i; 13 cout << (cur + m) % n + 1 << endl; 14 } 15 return 0; 16 }