微积分的学习

微积分的学习

目录

• 微积分的学习
  • 导数
  • 定积分
  • 定积分的中值定理
  • 牛顿－莱布尼茨公式

导数

定义

设函数(y=f(x))在点(x_0)的某个邻域内有定义，当自变量 (x)在(x_0)处有增量(Delta x (x_0+Delta x))也在该邻域内时，相应地函数取得增量(Delta y = f(x_0+Delta x) = f(x_0))；如果(Delta y)与(Delta x)之比当(Delta x ightarrow 0)时极限存在，则称函数(y=f(x))在点(x_0)处可导，并称这个极限值为函数(y=f(x))在点(x_0)处的导数记为(f'(x))，即

[f'(x_0) = lim_{Delta x ightarrow 0} frac {Delta y }{Delta x} = lim_{Delta x ightarrow 0} frac {f(x_0 + Delta x) - f(x_0)}{Delta x} ]

也记作：

[y'mid _{x=x_0}或frac {dy}{dx}mid_{x=x_0} ]

导函数

如果函数(y=f(x))在开区间(I)内每一点都可导，就称函数(y=f(x))在区间(I)内可导。这时函数(y=f(x))对于区间(I)内的每一个确定的(x)值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，称这个函数为原来函数(y=f(x))的导函数，记作(y',f'(x),frac {dy}{dx}, frac {df(x)}{dx})简称导数。

几何意义

函数(y=f(x))在(x_0)点的导数(y=f'(x_0))的几何意义：表示函数曲线在点(P_0(x_0,f(x_0)))处的切线的斜率（导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率）。

基本求导公式

((C)' = 0)
((x^mu)' = mu x^{mu - 1})
((sinx)' = cosx)
((cosx)'=-sinx)
((tanx)' = sec^2x)
((cotx)' = -csc^2x)
((secx)' = secxtanx)
((cscx)' = -cscxcotx)
((a^x)' = a^xlna)
((e^x)' = e^x)
(log_ax=frac 1 {xlna})
((lnx)' = frac 1 x)
((arcsinx)' = frac 1 {sqrt {1-x^2}})
((arccosx)' = - frac 1 {sqrt{1-x^2}})
((arctanx)' = frac 1 {1+x^2})
((arccotx)' = - frac 1 {1 + x^2})

定积分

[int_a^bf(x)dx = limsum_{j=1}^nf(v_j)Delta x_j ]

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.
定积分就是求函数(f(X))在区间([a,b])中图线下包围的面积。即由 (y=0,x=a,x=b,y=f(X))所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形。

定积分的中值定理

设(f(x))在闭区间([a,b])上连续，则存在(xi)使得

[int_a^bf(x)dx = f(xi)(b-a) ]

上面公式的几何意义就是：

由(x)轴、(x=a)、(x=b)及曲线(y=f(x))围城的曲边梯形的面积必定等于一个长为(b－a)，宽为f((xi))的矩形的面积。也就是说，面积是连续的。

牛顿－莱布尼茨公式

假设(f(x))的原函数是(F(x))，则存在以下公式：

[int_a^bf(x)dx=F(x)mid_a^b=F(b)-F(a) ]

以上公式的内容表明

一个连续函数在区间 ([ a , b ]) 上的定积分等于它的任意一个原函数在区间([ a , b ])上的增量。
正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。